Calcular a integral dupla usando coordenadas polares:
, onde
é a região que fica entre os círculos
e o eixo y.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é a região que fica entre o círculo
e o eixo
. Informações dadas e o que precisa ser encontrado:
- A função a integrar é
. - A fronteira circular é
, isto é, círculo de raio centrado na origem. - A outra fronteira é o eixo
(reta ). Assim, é a metade do disco de raio limitada pelo eixo ; isto é, o semi-disco com e . - A tarefa: calcular o valor numérico da integral dupla sobre essa região
.
Passo 2
Troca para coordenadas polares — explicando a ideia e as fórmulas:
- Em coordenadas polares usamos
e , onde é a distância ao origem e é o ângulo medido a partir do eixo positivo. - O elemento de área
em coordenadas polares vale . Isso aparece porque a transformação tem determinante absoluto igual a (o “fator de escala” ao passar de retângulos em para áreas em ). - Vou usar essas substituições em todo o integrando e no
. Aqui cada símbolo: -
é o raio (distância ao centro), -
é o ângulo, -
e são os diferenciais em polares, -
é a área de um “setor pequeno”.
-
Passo 3
Converter o integrando para polares:
pois
e
cancela. Portanto o integrando simplifica muito: fica só
. Lembre-se que o
ainda fornece um fator
, então a forma integranda completa em polares será
.
Passo 4
Descrever a região
em coordenadas polares e os limites de integração:
- A circunferência
vira . - A reta
(eixo ) corresponde a e . A parte do disco com corresponde a ângulos entre e . - O raio
varia de até .
Logo os limites em polares são
Passo 5
Montar a integral em coordenadas polares usando as substituições anteriores:
Observação:
não depende de
, então na integral interna em
ele pode ser tratado como constante.
Passo 6
Calcular a integral interna em
e simplificar:
Portanto a integral dupla reduz-se à integral em
Passo 7
Avaliar a integral angular. Usar a identidade trigonométrica
:
Assim
Agora avaliar os limites:
em
vale
. Portanto apenas sobra a diferença dos
:
Logo a integral vale
.