Calcular a integral dupla usando coordenadas polares:
\iint_{D} \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} d A, onde D é a região que fica entre os círculos x^{2}+y^{2}=4 e o eixo y.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dA,
onde D é a região que fica entre o círculo x^{2}+y^{2}=4 e o eixo y. Informações dadas e o que precisa ser encontrado:
  • A função a integrar é \dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
  • A fronteira circular é x^{2}+y^{2}=4, isto é, círculo de raio 2 centrado na origem.
  • A outra fronteira é o eixo y (reta x=0). Assim, D é a metade do disco de raio 2 limitada pelo eixo y; isto é, o semi-disco com x\ge 0 e x^{2}+y^{2}\le 4.
  • A tarefa: calcular o valor numérico da integral dupla sobre essa região D.

Passo 2

Troca para coordenadas polares — explicando a ideia e as fórmulas:
  • Em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • O elemento de área dA em coordenadas polares vale dA = r\,dr\,d\theta. Isso aparece porque a transformação (r,\theta)\mapsto(x,y) tem determinante absoluto igual a r (o “fator de escala” ao passar de retângulos em (r,\theta) para áreas em (x,y)).
  • Vou usar essas substituições em todo o integrando e no dA. Aqui cada símbolo:
    • r é o raio (distância ao centro),
    • \theta é o ângulo,
    • dr e d\theta são os diferenciais em polares,
    • r\,dr\,d\theta é a área de um “setor pequeno”.

Passo 3

Converter o integrando para polares:
\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{(r\sin\theta)^{2}}{(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}} = \frac{r^{2}\sin^{2}\theta}{r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)} = \sin^{2}\theta,
pois \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 e r^{2} cancela. Portanto o integrando simplifica muito: fica só \sin^{2}\theta. Lembre-se que o dA ainda fornece um fator r, então a forma integranda completa em polares será \sin^{2}\theta\cdot r.

Passo 4

Descrever a região D em coordenadas polares e os limites de integração:
  • A circunferência x^{2}+y^{2}=4 vira r=2.
  • A reta x=0 (eixo y) corresponde a \theta=\tfrac{\pi}{2} e \theta=-\tfrac{\pi}{2}. A parte do disco com x\ge0 corresponde a ângulos entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}.
  • O raio r varia de 0 até 2.
    Logo os limites em polares são
0\le r\le 2,\qquad -\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Montar a integral em coordenadas polares usando as substituições anteriores:
\iint_{D}\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dA = \int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{2} \sin^{2}\theta \cdot r \,dr\,d\theta.
Observação: \sin^{2}\theta não depende de r, então na integral interna em r ele pode ser tratado como constante.

Passo 6

Calcular a integral interna em r e simplificar:
\int_{r=0}^{2} \sin^{2}\theta \cdot r \,dr = \sin^{2}\theta \int_{0}^{2} r\,dr = \sin^{2}\theta \left[\tfrac{1}{2}r^{2}\right]_{0}^{2} = \sin^{2}\theta \cdot \tfrac{1}{2}\cdot 4 = 2\sin^{2}\theta.
Portanto a integral dupla reduz-se à integral em \theta
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} 2\sin^{2}\theta \,d\theta.

Passo 7

Avaliar a integral angular. Usar a identidade trigonométrica \sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}:
2\sin^{2}\theta = 1-\cos(2\theta).
Assim
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} 2\sin^{2}\theta \,d\theta = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \bigl(1-\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta = \left[\theta - \tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}.
Agora avaliar os limites: \sin(2\theta) em \theta=\pm\tfrac{\pi}{2} vale \sin(\pm\pi)=0. Portanto apenas sobra a diferença dos \theta:
\left(\tfrac{\pi}{2}-0\right)-\left(-\tfrac{\pi}{2}-0\right)=\pi.
Logo a integral vale \pi.

Resposta

\pi

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