Seja
uma matriz quadrada de ordem n tal que
e
.
Determine o valor de
.
Determine o valor de
Passo 1
O enunciado dá claramente:
-
é uma matriz quadrada de ordem . -
. - Satisfa z a equação matricial
.
O que é pedido:
- Determinar o valor de
.
Passo 2
Vamos manipular a equação dada. A expressão
pode ser fatorada colocando
em evidência. Usando a associatividade da multiplicação de matrizes e o fato de
ser a matriz identidade,
Passo 3
A informação
implica que
é invertível. Explicação curta: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Então existe
tal que
.
Passo 4
Se
é invertível então
também é invertível. O inverso de
é
, porque
Isto usa a propriedade de que o produto de matrizes invertíveis é invertível.
Passo 5
Voltando à equação fatorada
(onde
é a matriz zero), multiplica-se à esquerda por
(que existe pelo passo anterior). Assim:
Aqui foi usada a propriedade de que
e
.
Passo 6
Da igualdade matricial
obtemos imediatamente
Isto significa que
é a matriz identidade multiplicada pelo escalar
.
Passo 7
Agora vamos calcular o determinante de
. Como
, temos
Usamos a propriedade de determinante para uma matriz diagonal (ou para
em geral): se uma matriz é
vezes a identidade de ordem
, seus autovalores são todos
e o determinante é o produto dos autovalores, logo
. Portanto,
Passo 8
Como verificação rápida (opcional): substituindo
na equação original obtemos
confirmando que a solução é consistente.