Seja Q uma matriz quadrada de ordem n tal que \operatorname{det} Q \neq 0 e Q^{3}+2 Q^{2}=0.
Determine o valor de \operatorname{det} Q.

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • Q é uma matriz quadrada de ordem n.
  • \operatorname{det}Q \neq 0.
  • Satisfa z a equação matricial Q^{3}+2Q^{2}=0.
O que é pedido:
  • Determinar o valor de \operatorname{det}Q.

Passo 2

Vamos manipular a equação dada. A expressão Q^{3}+2Q^{2} pode ser fatorada colocando Q^{2} em evidência. Usando a associatividade da multiplicação de matrizes e o fato de I ser a matriz identidade,
Q^{3}+2Q^{2}=Q^{2}(Q+2I).

Passo 3

A informação \operatorname{det}Q\neq 0 implica que Q é invertível. Explicação curta: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Então existe Q^{-1} tal que Q^{-1}Q=I.

Passo 4

Se Q é invertível então Q^{2}=Q\cdot Q também é invertível. O inverso de Q^{2} é (Q^{-1})^{2}, porque
(Q^{-1})^{2}Q^{2}=Q^{-1}Q^{-1}QQ=I.
Isto usa a propriedade de que o produto de matrizes invertíveis é invertível.

Passo 5

Voltando à equação fatorada Q^{2}(Q+2I)=0 (onde 0 é a matriz zero), multiplica-se à esquerda por (Q^{2})^{-1} (que existe pelo passo anterior). Assim:
(Q^{2})^{-1}Q^{2}(Q+2I)=(Q^{2})^{-1}0 \quad\Longrightarrow\quad Q+2I=0.
Aqui foi usada a propriedade de que (Q^{2})^{-1}0=0 e (Q^{2})^{-1}Q^{2}=I.

Passo 6

Da igualdade matricial Q+2I=0 obtemos imediatamente
Q=-2I.
Isto significa que Q é a matriz identidade multiplicada pelo escalar -2.

Passo 7

Agora vamos calcular o determinante de Q. Como Q=-2I, temos
\operatorname{det}Q=\operatorname{det}(-2I).
Usamos a propriedade de determinante para uma matriz diagonal (ou para cI_n em geral): se uma matriz é c vezes a identidade de ordem n, seus autovalores são todos c e o determinante é o produto dos autovalores, logo c^{n}. Portanto,
\operatorname{det}(-2I)=(-2)^{n}.

Passo 8

Como verificação rápida (opcional): substituindo Q=-2I na equação original obtemos
(-2I)^{3}+2(-2I)^{2}=(-8)I+2\cdot4I=(-8+8)I=0,
confirmando que a solução é consistente.

Resposta

(-2)^{n}

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