O vetor posição de uma partícula em movimento é
(a) Mostre que a partícula se move sobre uma circunferência de centro na origem.
(b) Em que sentido a partícula se move quando
aumenta?
(c) Há pontos na circunferência que não são ocupados pela partícula quando
percorre o intervalo
?
(b) Em que sentido a partícula se move quando
(c) Há pontos na circunferência que não são ocupados pela partícula quando
Passo 1
O enunciado fornece a posição da partícula em função do tempo:
e pede três coisas:
- (a) Mostrar que a partícula se move sobre uma circunferência com centro na origem.
- (b) Determinar em que sentido a partícula se move quando
aumenta. - (c) Verificar se existem pontos da circunferência que não são ocupados quando
percorre .
As informações relevantes são a expressão das coordenadas
e
para todo
(o denominador
nunca é zero).
Passo 2
Primeiro vamos mostrar que o ponto
pertence sempre a uma circunferência centrada na origem. A forma natural de verificar isso é calcular a soma dos quadrados das coordenadas (o quadrado da distância ao centro):
Calculemos
:
Colocando sobre o mesmo denominador
obtemos
Agora expandimos o numerador:
Note que isso é exatamente
. Então
Conclusão: para todo
vale
, ou seja, a posição da partícula tem sempre módulo
. Portanto a partícula se move sobre a circunferência de centro na origem e raio
.
(Dica rápida: dizer que um ponto
está numa circunferência de centro na origem e raio
equivale a verificar
. Aqui
.)
Passo 3
Para responder (b) é útil interpretar a parametrização em termos do ângulo polar
no círculo unitário. Recorde a identidade de tangente metade do ângulo (identidade trigonométrica clássica): se
então
Comparando com
, vemos que se tomarmos
então
Portanto a parametrização dada é a parametrização usual do círculo unitário através do ângulo
Passo 4
Agora analisamos o sentido do movimento quando
aumenta. A função
é estritamente crescente em
, logo
também é estritamente crescente. Isso significa que, à medida que
aumenta, o ângulo polar
aumenta.
Num círculo orientado pelo ângulo polar padrão (ângulo medido a partir do eixo positivo
no sentido anti-horário), um aumento do ângulo corresponde ao movimento no sentido anti-horário (contrário ao sentido dos ponteiros do relógio). Assim, a partícula se move no sentido anti-horário quando
aumenta.
Para fixar a intuição, veja alguns valores:
Esses pontos mostram que, aumentando
a partir de
, a partícula vai de
passando por
até aproximar-se de
: isso é claramente movimento anti-horário sobre a semicircunferência superior.
Passo 5
Agora (c): quais pontos da circunferência são ocupados quando
?
Uma forma prática é inverter a parametrização: dado um ponto
no círculo unitário, podemos resolver para
. A partir das fórmulas
multiplicando a segunda por
obtemos
, ou seja
Rearranjando em
e supondo
(veremos o caso
à parte), uma manipulação simples dá a expressão direta
(Esse resultado também se obtém combinando as duas equações; é a fórmula inversa conhecida da estereográfica/tangente metade do ângulo.)
Observações importantes:
- Se
então para qualquer ponto do círculo existe um único real que produz esse ponto. - O caso
corresponde ao ponto . Para esse ponto o denominador é zero, o que corresponde ao limite , ou seja, nunca é alcançado por nenhum valor finito de .
Agora restrinja
ao intervalo
. Para
a fórmula
mostra que
. Logo nenhum ponto com
(a semicircunferência inferior) é atingido por
. Para
o ângulo
varia de
até
(com
e
quando
). Assim, o conjunto de pontos atingidos por
é a semicircunferência superior
, incluindo o ponto inicial
(correspondente a
) e aproximando-se de
quando
, mas sem alcançá-lo para nenhum
finito.
Conclusão: pontos não ocupados quando
são:
- todos os pontos da semicircunferência inferior (
), e - o ponto
da semirrecta esquerda, que é apenas um limite quando e não é atingido por nenhum finito.
Resposta
(a) A partícula move-se na circunferência centrada na origem de raio
, pois
para todo
.
(b) Quando
aumenta a partícula move-se no sentido anti-horário (contrário aos ponteiros do relógio), pois
é crescente.
(c) Para
são ocupados todos os pontos da semicircunferência superior
, incluindo
para
e aproximando-se de
quando
; o ponto
não é atingido por nenhum
finito, e nenhum ponto com
é atingido.