O vetor posição de uma partícula em movimento é
\sigma(t)=\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \frac{2 t}{1+t^{2}}\right)
(a) Mostre que a partícula se move sobre uma circunferência de centro na origem.
(b) Em que sentido a partícula se move quando t aumenta?
(c) Há pontos na circunferência que não são ocupados pela partícula quando t percorre o intervalo [0,+\infty) ?

Passo 1

O enunciado fornece a posição da partícula em função do tempo:
\sigma(t)=\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\;\frac{2t}{1+t^{2}}\right),
e pede três coisas:
  • (a) Mostrar que a partícula se move sobre uma circunferência com centro na origem.
  • (b) Determinar em que sentido a partícula se move quando t aumenta.
  • (c) Verificar se existem pontos da circunferência que não são ocupados quando t percorre [0,+\infty).
As informações relevantes são a expressão das coordenadas x(t)=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}} e y(t)=\dfrac{2t}{1+t^{2}} para todo t\in\mathbb{R} (o denominador 1+t^{2} nunca é zero).

Passo 2

Primeiro vamos mostrar que o ponto (x(t),y(t)) pertence sempre a uma circunferência centrada na origem. A forma natural de verificar isso é calcular a soma dos quadrados das coordenadas (o quadrado da distância ao centro):
Calculemos \;x(t)^{2}+y(t)^{2}\;:
x(t)^{2}+y(t)^{2} = \left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)^{2} + \left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right)^{2}.
Colocando sobre o mesmo denominador (1+t^{2})^{2} obtemos
x(t)^{2}+y(t)^{2} = \frac{(1-t^{2})^{2} + (2t)^{2}}{(1+t^{2})^{2}}.
Agora expandimos o numerador:
(1-t^{2})^{2} + (2t)^{2} = (1 - 2t^{2} + t^{4}) + 4t^{2} = 1 + 2t^{2} + t^{4}.
Note que isso é exatamente (1+t^{2})^{2}. Então
x(t)^{2}+y(t)^{2} = \frac{(1+t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{2}} = 1.
Conclusão: para todo t vale \;x(t)^{2}+y(t)^{2}=1, ou seja, a posição da partícula tem sempre módulo 1. Portanto a partícula se move sobre a circunferência de centro na origem e raio 1.
(Dica rápida: dizer que um ponto (x,y) está numa circunferência de centro na origem e raio R equivale a verificar x^{2}+y^{2}=R^{2}. Aqui R=1.)

Passo 3

Para responder (b) é útil interpretar a parametrização em termos do ângulo polar \theta no círculo unitário. Recorde a identidade de tangente metade do ângulo (identidade trigonométrica clássica): se \;t=\tan\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\; então
\cos\theta = \frac{1 - \tan^{2}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{1 + \tan^{2}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}, \qquad \sin\theta = \frac{2\tan\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{1 + \tan^{2}\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}.
Comparando com \sigma(t), vemos que se tomarmos
\theta = 2\arctan t
então
x(t)=\cos\theta,\qquad y(t)=\sin\theta.
Portanto a parametrização dada é a parametrização usual do círculo unitário através do ângulo
\theta(t)=2\arctan t.

Passo 4

Agora analisamos o sentido do movimento quando t aumenta. A função \arctan t é estritamente crescente em \mathbb{R}, logo \theta(t)=2\arctan t também é estritamente crescente. Isso significa que, à medida que t aumenta, o ângulo polar \theta aumenta.
Num círculo orientado pelo ângulo polar padrão (ângulo medido a partir do eixo positivo x no sentido anti-horário), um aumento do ângulo corresponde ao movimento no sentido anti-horário (contrário ao sentido dos ponteiros do relógio). Assim, a partícula se move no sentido anti-horário quando t aumenta.
Para fixar a intuição, veja alguns valores:
t=0 \Rightarrow \sigma(0)=\left(1,0\right)\quad(\theta=0),
t=1 \Rightarrow \sigma(1)=\left(0,1\right)\quad(\theta=\pi/2),
t\to+\infty \Rightarrow \theta\to \pi,\quad \sigma(t)\to(-1,0).
Esses pontos mostram que, aumentando t a partir de 0, a partícula vai de (1,0) passando por (0,1) até aproximar-se de (-1,0): isso é claramente movimento anti-horário sobre a semicircunferência superior.

Passo 5

Agora (c): quais pontos da circunferência são ocupados quando t\in[0,+\infty) ?
Uma forma prática é inverter a parametrização: dado um ponto (x,y) no círculo unitário, podemos resolver para t. A partir das fórmulas
x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\qquad y=\frac{2t}{1+t^{2}},
multiplicando a segunda por 1+t^{2} obtemos y(1+t^{2})=2t, ou seja
y + yt^{2} = 2t.
Rearranjando em t e supondo 1+x\neq 0 (veremos o caso x=-1 à parte), uma manipulação simples dá a expressão direta
t=\frac{y}{1+x}.
(Esse resultado também se obtém combinando as duas equações; é a fórmula inversa conhecida da estereográfica/tangente metade do ângulo.)
Observações importantes:
  • Se x\neq -1 então para qualquer ponto (x,y) do círculo existe um único t=\dfrac{y}{1+x} real que produz esse ponto.
  • O caso x=-1 corresponde ao ponto (-1,0). Para esse ponto o denominador 1+x é zero, o que corresponde ao limite t\to\pm\infty, ou seja, (-1,0) nunca é alcançado por nenhum valor finito de t.
Agora restrinja t ao intervalo [0,+\infty). Para t\ge 0 a fórmula y=\dfrac{2t}{1+t^{2}} mostra que y\ge 0. Logo nenhum ponto com y<0 (a semicircunferência inferior) é atingido por t\ge 0. Para t\in[0,+\infty) o ângulo \theta=2\arctan t varia de 0 até \pi (com \theta(0)=0 e \theta(t)\to\pi quando t\to+\infty). Assim, o conjunto de pontos atingidos por t\in[0,+\infty) é a semicircunferência superior \{(x,y):x^{2}+y^{2}=1,\\ y\ge 0\}, incluindo o ponto inicial (1,0) (correspondente a t=0) e aproximando-se de (-1,0) quando t\to\infty, mas sem alcançá-lo para nenhum t finito.
Conclusão: pontos não ocupados quando t\in[0,+\infty) são:
  • todos os pontos da semicircunferência inferior ( y<0), e
  • o ponto (-1,0) da semirrecta esquerda, que é apenas um limite quando t\to+\infty e não é atingido por nenhum t finito.

Resposta

(a) A partícula move-se na circunferência centrada na origem de raio 1, pois \;x(t)^{2}+y(t)^{2}=1 para todo t.
(b) Quando t aumenta a partícula move-se no sentido anti-horário (contrário aos ponteiros do relógio), pois \theta(t)=2\arctan t é crescente.
(c) Para t\in[0,+\infty) são ocupados todos os pontos da semicircunferência superior \{(x,y):x^{2}+y^{2}=1,\\ y\ge 0\}, incluindo (1,0) para t=0 e aproximando-se de (-1,0) quando t\to+\infty; o ponto (-1,0) não é atingido por nenhum t finito, e nenhum ponto com y<0 é atingido.

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