Q5. Encontre os pontos críticos das funções:
Observação (Como encontrar pontos críticos):
Para encontrar os pontos críticos de uma função f(x), siga os passos:
  1. Calcule a derivada f^{\prime}(x).
  2. Verifique os valores onde f^{\prime}(x) não existe, mas estão no domínio de f(x).
  3. Encontre os valores de x que satisfaz a equação f^{\prime}(x)=0.
  4. Os pontos críticos são todos os valores de x encontrados nos passos anteriores.
    h(x)=x e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre os pontos críticos da função h(x)=x\,e^{-x}. Informação dada:
  • A função é h(x)=x\,e^{-x}.
  • O domínio natural desta função é todo o conjunto dos reais (-\infty,\infty).
  • Segundo a observação fornecida, pontos críticos são os x onde h^{\prime}(x)=0 ou onde h^{\prime}(x) não existe (mas o ponto está no domínio).

Passo 2

Relembrando claramente o que é necessário fazer (sem resolver ainda):
  • Primeiro calcular h^{\prime}(x).
  • Depois verificar se há pontos do domínio onde h^{\prime}(x) não existe.
  • Finalmente resolver h^{\prime}(x)=0 para achar os x que são pontos críticos.

Passo 3

Vou calcular h^{\prime}(x). Para isso uso a regra do produto: se f(x) e g(x) são funções diferenciáveis então
(fg)' = f'g + fg'.
Aqui posso identificar f(x)=x e g(x)=e^{-x}. Então preciso de f'(x) e g'(x).

Passo 4

Derivo f(x)=x e g(x)=e^{-x}:
  • f'(x)=1 porque a derivada de x é 1.
  • Para g(x)=e^{-x} uso a regra da cadeia: se u(x)=-x então g(x)=e^{u(x)} e
g'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}.
Como u'(x)=-1 e e^{u(x)}=e^{-x}, segue
g'(x) = -1\cdot e^{-x} = -e^{-x}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 1\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}).
Simplificando,
h'(x) = e^{-x} - x e^{-x}.

Passo 6

Fatorando e^{-x} (é um fator comum):
h'(x) = e^{-x}(1-x).
Agora verifico onde h'(x) não existe: a função e^{-x} e o polinômio (1-x) são definidos e diferenciáveis para todo x\in\mathbb{R}, logo h'(x) existe para todo x. Portanto não há pontos críticos originados por derivada inexistente.

Passo 7

Procuro os x tais que h'(x)=0. Da expressão fatorada:
e^{-x}(1-x)=0.
Sabendo que e^{-x}>0 para todo x, o fator e^{-x} nunca é zero. Assim a única possibilidade é
1-x=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Calculo também o valor da função nesse ponto para dar o ponto crítico completo:
h(1)=1\cdot e^{-1}=e^{-1}.

Passo 8

Conclusão: o único ponto crítico é x=1, correspondente ao ponto (1,e^{-1}). Vai dar tudo certo na prova — você encontrou o ponto crítico certinho!

Resposta

x=1
(1,e^{-1})

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