Q5. Encontre os pontos críticos das funções:
Observação (Como encontrar pontos críticos):
Para encontrar os pontos críticos de uma função
, siga os passos:
- Calcule a derivada
.
- Verifique os valores onde
não existe, mas estão no domínio de
.
- Encontre os valores de
que satisfaz a equação
.
- Os pontos críticos são todos os valores de
encontrados nos passos anteriores.
Para encontrar os pontos críticos de uma função
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre os pontos críticos da função
. Informação dada:
- A função é
. - O domínio natural desta função é todo o conjunto dos reais
. - Segundo a observação fornecida, pontos críticos são os
onde ou onde não existe (mas o ponto está no domínio).
Passo 2
Relembrando claramente o que é necessário fazer (sem resolver ainda):
- Primeiro calcular
. - Depois verificar se há pontos do domínio onde
não existe. - Finalmente resolver
para achar os que são pontos críticos.
Passo 3
Vou calcular
. Para isso uso a regra do produto: se
e
são funções diferenciáveis então
Aqui posso identificar
e
. Então preciso de
e
.
Passo 4
Derivo
e
:
-
porque a derivada de é . - Para
uso a regra da cadeia: se então e
Como
e
, segue
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Simplificando,
Passo 6
Fatorando
(é um fator comum):
Agora verifico onde
não existe: a função
e o polinômio
são definidos e diferenciáveis para todo
, logo
existe para todo
. Portanto não há pontos críticos originados por derivada inexistente.
Passo 7
Procuro os
tais que
. Da expressão fatorada:
Sabendo que
para todo
, o fator
nunca é zero. Assim a única possibilidade é
Calculo também o valor da função nesse ponto para dar o ponto crítico completo:
Passo 8
Conclusão: o único ponto crítico é
, correspondente ao ponto
. Vai dar tudo certo na prova — você encontrou o ponto crítico certinho!