Calcular integral duplaB e^x^2+y^2 d x d y, onde B é a região semicircular limitada pelo eixo xe a curva y=raiz1-x^2

Passo 1

A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaB e^x^2+y^2,dx,dy, onde B é o semicírculo de raio 1 acima do eixo x, isto é (x,y):x^2+y^2<=1,,y>=0. O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas polares e o uso da fórmula de Jacobiano para integrais duplas.

Passo 2

Em coordenadas polares, definimos x=rcostheta, y=rsintheta e o elemento de área fica dx,dy = r,dr,dtheta. A região B em polares corresponde a 0<= r<=1 e 0<=theta<=pi.

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando e^x^2+y^2 vira e^r^2 e temos
integral duplaB e^x^2+y^2,dx,dy = integraltheta=0^piintegralr=0^1 e^r^2,r,dr,dtheta

Passo 4

Para resolver a integral em r, fazemos a substituição u=r^2, de onde du=2r,dr. Assim
integral0^1 e^r^2,r,dr = 12integral0^1 e^u,du = e-12

Passo 5

Agora a integral em theta é simples, pois
integral0^pi dtheta = pi

Passo 6

Multiplicando os resultados dos dois integrais, fica
integral duplaB e^x^2+y^2,dx,dy = pi times e-12 = pi2(e-1)

Resposta

pi2(e-1)

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