Nas funções f abaixo, calcule f^prime e f^prime prime, se existirem. f(x)=raiz[5]x^2(x+1)

Passo 1

O enunciado diz que temos a função
f(x)=raiz[5]x^2(x+1)=(x^2(x+1))^1/5
O conteúdo aqui é derivação de função composta e potência fracionária, então vamos usar a regra da cadeia e a derivada de u^n.

Passo 2

Para calcular f'(x), identificamos a parte externa u^1/5 e a interna u=x^2(x+1). Pela regra da cadeia:
f'(x)=15(x^2(x+1))^1/5-1cdotddx[x^2(x+1)]
Agora só falta derivar a parte interna. Como x^2(x+1)=x^3+x^2, temos:
ddx[x^2(x+1)]=3x^2+2x

Passo 3

Substituindo na expressão de f'(x) e simplificando o expoente:
f'(x)=15(x^2(x+1))^-4/5(3x^2+2x) =3x^2+2x5,(x^2(x+1))^4/5

Passo 4

Para f''(x), podemos ver f'(x) como produto de
u=3x^2+2x e v=tfrac15(x^2(x+1))^-4/5. Usando a regra do produto:
f''(x)=u'v+uv'
onde
u'=6x+2 e, aplicando de novo a cadeia,
v'=15cdotl(-45r)(x^2(x+1))^-4/5-1cdot(3x^2+2x) =-425(x^2(x+1))^-9/5(3x^2+2x)

Passo 5

Agora juntamos tudo e fatoramos (x^2(x+1))^-9/5. Depois de organizar e simplificar, chegamos a:
f''(x)=-2x^2(3x^2+4x+3)25,(x^2(x+1))^9/5

Resposta

As derivadas são:
f'(x)=3x^2+2x5,(x^2(x+1))^4/5,
f''(x)=-2x^2(3x^2+4x+3)25,(x^2(x+1))^9/5

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