A Lei de Boyle para os gases afirma que P V=c, onde P é a pressão, V o volume e c uma contante do gás. Suponhamos que a pressão dependa do tempo através da expressão P(t)=(20+2 t) g / cm^3 para 0 <= t <= 10. Se o volume em t=0 é 45 cm^3, determine: c) a taxa de variação do volume em t=5.

Passo 1

O enunciado diz que temos a Lei de Boyle, que relaciona pressão e volume por meio de P V = c. Aqui a pressão varia no tempo como P(t) = 20 + 2t (unidade g/cm^3) para 0 <= t <= 10, e sabemos que V(0)=45,cm^3. Vamos usar essas informações para achar primeiro a constante c e depois calcular a taxa dV/dt em t=5.

Passo 2

Como c é constante, em t=0 vale c = P(0)cdot V(0). Substituindo: c = (20) cdot (45) = 900

Passo 3

Agora podemos escrever V(t) isolado na Lei de Boyle: como P(t)V(t)=c, temos V(t)=cP(t)=90020+2t

Passo 4

Para achar a taxa de variação do volume, derivamos V(t) em relação a t. Aplicando a regra do quociente ou regra da potência fica:
dVdt = -900 cdot 2(20+2t)^2 = -1800(20+2t)^2

Passo 5

Agora é só avaliar em t=5. Então 20+2cdot5=30 e temos: dVdtg|t=5 = -180030^2 = -1800900 = -2

Resposta

A taxa de variação do volume em t=5 é de -2,cm^3 por unidade de tempo.

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