Calcule a derivada da função dada pela definição, considerando c in R, n, m in N e b in] 0,+infty[-1. f(x)=sen x

Passo 1

A função dada é f(x)=\sin x e o objetivo é calcular f’(x) usando a definição de derivada. O conteúdo aqui é derivada pelo limite do quociente incremental, e vamos precisar das identidades trigonométricas de soma de ângulos e dos limites fundamentais limhto0sin hh=1 e limhto0cos h -1h=0.

Passo 2

Começamos pela definição de derivada:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h=limhto0sin(x+h)-sin xh
Usamos a fórmula de soma de ângulos para sin(x+h):
sin(x+h)=sin xcos h+cos xsin h
Então o quociente fica
sin(x+h)-sin xh=sin x(cos h-1)+cos xsin hh

Passo 3

Agora separamos em duas parcelas:
sin x(cos h-1)h+cos xsin hh=sin xcdotcos h-1h+cos xcdotsin hh
Essa separação é importante para aplicar os limites conhecidos.

Passo 4

Aplicamos os limites trigonométricos quando hto0:
limhto0cos h-1h=0,limhto0sin hh=1
Logo,
f'(x)=sin xcdot0+cos xcdot1=cos x

Passo 5

Concluindo, a derivada de f(x)=sin x é dada por f'(x)=cos x.

Resposta

f’(x)=\cos x

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