Calcular integral duplaR raizx sen(raizx y) d x d y, onde R é a região delimitada por y=0, x=pi2 e y=raizx.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla de raizx,sin(raizxy) sobre a região R delimitada por y=0, x=pi/2 e y=raizx. O conteúdo envolve integrais duplas e uso de substituição para integrar em y.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a integral iterada trocando para ordem dy,dx:
integral duplaR raizx,sin(raizxy),dx,dy = integralx=0^pi/2 l(integraly=0^raizx raizx,sin(raizxy),dyr)dx

Passo 3

Para integrar em y, fazemos a substituição u=raizx,y, daí du=raizx,dy. Os limites vão de u=0 até u=raizxcdotraizx=x. A integral interna fica:
integral0^raizx raizx,sin(raizxy),dy = integralu=0^x sin(u),du = 1-cos(x)

Passo 4

Restou então calcular
integral0^pi/2 l(1-cos(x)r),dx
A primitiva de 1-cos(x) é x-sin(x), avaliando de 0 a pi/2
l[x-sin(x)r]0^pi/2 = l(tfracpi2-1r) - (0-0) = tfracpi2-1

Resposta

dfracpi2-1

Exercícios relacionados