Sejam
e
funções contínuas. Se
é o retângulo
, verificar que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para funções contínuas p(x) e q(y) em R=[a,b]×[c,d], vale a propriedade de Fubini que separa a integral dupla em produto de integrais simples. Vamos usar a definição de integral dupla em retângulo e o fato de que p depende só de x e q só de y.
Passo 2
Pela definição de integral dupla sobre retângulo e pelo teorema de Fubini, escrevemos
Passo 3
Na integral interna, x é fixo e p(x) é constante em relação a y. Logo podemos retirá-la de dentro da integral em y:
Passo 4
Substituindo esse resultado na integral em x, obtemos
Passo 5
Agora o termo
é constante em relação a x, então pode ser fatorado para fora da integral em x. Isso dá