Sejam p(x) e q(y) funções contínuas. Se R é o retângulo [a, b] times[c, d], verificar que
integral duplaR p(x) q(y) d x d y=integrala^b p(x) d x cdot integralc^d q(y) d y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para funções contínuas p(x) e q(y) em R=[a,b]×[c,d], vale a propriedade de Fubini que separa a integral dupla em produto de integrais simples. Vamos usar a definição de integral dupla em retângulo e o fato de que p depende só de x e q só de y.

Passo 2

Pela definição de integral dupla sobre retângulo e pelo teorema de Fubini, escrevemos
integral duplaRp(x)q(y),dx,dy = integrala^bl(integralc^dp(x)q(y),dyr)dx

Passo 3

Na integral interna, x é fixo e p(x) é constante em relação a y. Logo podemos retirá-la de dentro da integral em y:
integralc^dp(x)q(y),dy = p(x)integralc^dq(y),dy

Passo 4

Substituindo esse resultado na integral em x, obtemos
integrala^bp(x)l(integralc^dq(y),dyr)dx

Passo 5

Agora o termo integralc^dq(y),dy é constante em relação a x, então pode ser fatorado para fora da integral em x. Isso dá
l(integralc^dq(y),dyr)integrala^bp(x),dx

Resposta

integral duplaRp(x)q(y),dx,dy = l(integrala^bp(x),dxr),l(integralc^dq(y),dyr).

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