Escolha UM dentre os itens abaixo: O tratamento de uma infecção está sendo testado a partir da combinação de dois medicamentos. Estudos mostraram que a duração da infecção nos testes laboratoriais pode ser modelada pela função
D(x, y)=x^2+2 y^2-18 x-24 y+2 x y+120
onde x é a dosagem (em centenas de miligramas) da droga A e y é a dosagem (em centenas de miligramas) da droga B. Use multiplicadores de Lagrange para resolver
c máx f(x, y)=2 x+2 x y+y, sa 2 x+y=100 á

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a função f(x,y)=2x+2xy+y sujeita à restrição 2x+y=100, usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo é otimização de funções de várias variáveis com restrições, e vamos precisar montar a função de Lagrange e resolver o sistema formado pelas derivadas parciais e pela restrição.

Passo 2

Definimos a restrição g(x,y)=2x+y−100=0 e montamos a função de Lagrange:
ℒ(x,y,λ)=2xy+2x+y−λ(2x+y−100)
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
∂ℒ/∂x=2y+2−2λ=0
∂ℒ/∂y=2x+1−λ=0
E mantemos a condição da restrição:
2x+y=100

Passo 3

Da primeira equação vem λ=y+1 e da segunda λ=2x+1. Igualando as duas expressões para λ obtemos: y+1=2x+1 ⇒ y=2x.
Substituímos y=2x na restrição: 2x+2x=100 ⇒ 4x=100 ⇒ x=25. Então y=2·25=50.

Passo 4

Para confirmar que é máximo, podemos notar que na reta 2x+y=100 a função reduz-se a f(x)=−4x²+200x+100, uma parábola com concavidade negativa cujo vértice está em x=25, garantindo máximo.
Com x=25 e y=50, o valor máximo é
f(25,50)=2·25+2·25·50+50=2600

Resposta

Os valores que maximizam f são x=25 e y=50, com valor máximo f(25,50)=2600.

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