Escolha UM dentre os itens abaixo: O tratamento de uma infecção está sendo testado a partir da combinação de dois medicamentos. Estudos mostraram que a duração da infecção nos testes laboratoriais pode ser modelada pela função
onde
é a dosagem (em centenas de miligramas) da droga
e
é a dosagem (em centenas de miligramas) da droga
. Use multiplicadores de Lagrange para resolver
Passo 1
O enunciado pede para maximizar a função f(x,y)=2x+2xy+y sujeita à restrição 2x+y=100, usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo é otimização de funções de várias variáveis com restrições, e vamos precisar montar a função de Lagrange e resolver o sistema formado pelas derivadas parciais e pela restrição.
Passo 2
Definimos a restrição g(x,y)=2x+y−100=0 e montamos a função de Lagrange:
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
E mantemos a condição da restrição:
Passo 3
Da primeira equação vem λ=y+1 e da segunda λ=2x+1. Igualando as duas expressões para λ obtemos: y+1=2x+1 ⇒ y=2x.
Substituímos y=2x na restrição: 2x+2x=100 ⇒ 4x=100 ⇒ x=25. Então y=2·25=50.
Substituímos y=2x na restrição: 2x+2x=100 ⇒ 4x=100 ⇒ x=25. Então y=2·25=50.
Passo 4
Para confirmar que é máximo, podemos notar que na reta 2x+y=100 a função reduz-se a f(x)=−4x²+200x+100, uma parábola com concavidade negativa cujo vértice está em x=25, garantindo máximo.
Com x=25 e y=50, o valor máximo é
Com x=25 e y=50, o valor máximo é
Resposta
Os valores que maximizam f são x=25 e y=50, com valor máximo f(25,50)=2600.