Calcular integral duplaR f(x, y) d A, sendo:
f(x, y)=x e^x y R=[1,3] X[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
f(x,y)=x,e^xy
no retângulo
R = [1,3]times[0,1]
O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas e usaremos a técnica de integral iterada.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla como integral iterada, integrando primeiro em y e depois em x:
integral duplaRf(x,y),dA = integralx=1^3!!integraly=0^1 x,e^xy,dy,dx

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
integraly=0^1 x,e^xy,dy
Como x é constante em relação a y, temos
integral0^1 x,e^xy,dy = xintegral0^1 e^xy,dy = xgl[1xe^xygr]y=0^y=1 = l[e^x yr]0^1 = e^x-1

Passo 4

Substituímos na integral externa e calculamos em x:
integralx=1^3(e^x-1),dx = integral1^3e^x,dx ;-;integral1^31,dx = l[e^xr]1^3 ;-; l[xr]1^3 = l(e^3-e^1r);-;(3-1)

Passo 5

Simplificando, obtemos
e^3-e-2

Resposta

integral duplaRf(x,y),dA = e^3 - e - 2

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