Dada a equação linear de segunda ordem:
y^prime prime+2 y^prime+kappa y=0
(a) (1,5) Obtenha o valor do parâmetro kappa para o qual a solução da equação característica tem apenas uma raiz real repetida, e escreva a solução geral da EDO neste caso.
(b) (1,5) Usando a valor de kappa encontrado acima, escreva a solução geral da EDO y^prime prime+2 y^prime+(kappa+1) y=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + kappa,y = 0
e pede: (a) o valor de kappa que faz a equação característica ter raiz real dupla e a solução geral correspondente; (b) com esse mesmo kappa, resolver
y'' + 2y' + (kappa+1),y = 0
O método usado será: montar a equação característica, impor discriminante zero para raiz repetida em (a) e resolver normalmente em (b).

Passo 2

Para a parte (a), a equação característica é
r^2 + 2r + kappa = 0
O discriminante é
De<a = 2^2 - 4kappa = 4 - 4kappa
Impondo raiz dupla, temos De<a=0, ou seja
4 - 4kappa = 0 Longrightarrow kappa = 1
Nesse caso a raiz é
r = -22 = -1
com multiplicidade 2, e a solução geral é
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^-x

Passo 3

Para a parte (b), usamos kappa=1 na EDO
y'' + 2y' + (kappa+1)y = 0 Longrightarrow y'' + 2y' + 2y = 0
A equação característica fica
r^2 + 2r + 2 = 0,
cuja solução é
r = -1 pm i
Logo a solução geral, em termos de funções reais, é
y(x) = e^-xl(C1cos x + C2sin xr)

Resposta

(a) kappa = 1,\quad y(x) = (C1 + C2 x)e^-x
(b) y(x) = e^-xl(C1 cos x + C2 sin xr)

Exercícios relacionados