Dada a equação linear de segunda ordem:
(a)
Obtenha o valor do parâmetro
para o qual a solução da equação característica tem apenas uma raiz real repetida, e escreva a solução geral da EDO neste caso.
(b)
Usando a valor de
encontrado acima, escreva a solução geral da EDO
(b)
Passo 1
O enunciado dá a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede: (a) o valor de
que faz a equação característica ter raiz real dupla e a solução geral correspondente; (b) com esse mesmo
, resolver
O método usado será: montar a equação característica, impor discriminante zero para raiz repetida em (a) e resolver normalmente em (b).
Passo 2
Para a parte (a), a equação característica é
O discriminante é
Impondo raiz dupla, temos
, ou seja
Nesse caso a raiz é
com multiplicidade 2, e a solução geral é
Passo 3
Para a parte (b), usamos
na EDO
A equação característica fica
cuja solução é
Logo a solução geral, em termos de funções reais, é
Resposta
(a)
,\quad
(b)
(b)