Calcular integral duplaR f(x, y) d A, sendo:
f(x, y)=x cos x y R=[0,2] X[0, pi / 2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de
f(x,y)=xcos(xy)
sobre o retângulo
R = [0,2]times[0,tfracpi2]
O conteúdo aqui é cálculo de integral dupla, e vamos usar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla numa iterada, integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini,
integral duplaR xcos(xy),dA = integralx=0^2l(integraly=0^pi/2xcos(xy),dyr)dx
Na integral interna em y, fazemos
integral0^pi/2xcos(xy),dy =xintegral0^pi/2cos(xy),dy
Como
integralcos(xy),dy = 1xsin(xy),
segue que
integral0^pi/2xcos(xy),dy =sinl(xyr)|y=0^y=pi/2 =sin!l(tfracpi x2r)-sin(0) =sin!l(tfracpi x2r)

Passo 3

Substituindo esse resultado na integral em x, obtemos
integral duplaRxcos(xy),dA =integral0^2sin!l(tfracpi x2r),dx
Para integrar em x, usamos
integralsin!l(tfracpi x2r),dx =-2picos!l(tfracpi x2r),
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integral0^2sin!l(tfracpi x2r),dx =-2picos!l(tfracpi x2r)|0^2 =-2pil[cos(pi)-cos(0)r] =-2pil[-1-1r] =4pi

Resposta

integral duplaRf(x,y),dA = 4pi

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