Calcular integral duplaR f(x, y) d A, sendo:
f(x, y)=xy+yx R=[1,4] X[1,2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRf(x,y),dA
onde f(x,y)=xy+yx e R=[1,4]times[1,2].
Conteúdo usado: Teorema de Fubini para trocar integral dupla por iteradas, e integrais elementares de potências e de 1/y.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini escrevemos
integral duplaRf(x,y),dA =integralx=1^4integraly=1^2l(xy+yxr),dy,dx =I1+I2,
onde
I1=integral1^4integral1^2xy,dy,dx, I2=integral1^4integral1^2yx,dy,dx

Passo 3

Calculando I1: em relação a y, x é constante, então
I1 =integral1^4xl[integral1^21y,dyr],dx =integral1^4xl[ln yr]1^2,dx =ln2integral1^4x,dx =ln2l[x^22r]1^4 =152ln2

Passo 4

Calculando I2: separamos em duas integrais independentes,
I2 =l[integral1^41x,dxr], l[integral1^2y,dyr] =l[ln xr]1^4,l[y^22r]1^2 =ln4cdot32 =32ln4 =3ln2

Passo 5

Somando os resultados e simplificando:
I1+I2 =152ln2 + 3ln2 =15+62ln2 =212ln2

Resposta

212ln2

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