As equações de Euler são equações que podem ser escritas na forma
Mostre que existem valores constantes de
tais que
é uma solução de (2.11). Além disso, mostre que
é solução da equação (2.11) se, e somente se,
A equação (2.12) é chamada equação indicial de (2.11).
Passo 1
O enunciado apresenta a equação de Euler, também chamada equação de Cauchy–Euler, na forma
com
. Queremos verificar que uma função do tipo
pode satisfazer essa equação para certos valores constantes de
, e derivar a condição que
deve obedecer.
Passo 2
Supondo
, calculamos as derivadas necessárias para substituir na equação:
Passo 3
Substituímos essas expressões em
Fazendo a substituição:
Fatorando
, obtemos
Passo 4
Como
não se anula para
, a única forma de a soma ser zero é exigir
Expandindo,
Portanto,
é solução da equação de Euler se, e somente se,
satisfaz
que é justamente a chamada equação indicial.
Resposta
Os valores de
que tornam
solução satisfazem a equação indicial