As equações de Euler são equações que podem ser escritas na forma
x^2 y^prime prime+b x y^prime+c y=0, em que b, c in R
Mostre que existem valores constantes de r tais que y(x)=x^r é uma solução de (2.11). Além disso, mostre que y(x)=x^r é solução da equação (2.11) se, e somente se,
r^2+(b-1) r+c=0
A equação (2.12) é chamada equação indicial de (2.11).

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Euler, também chamada equação de Cauchy–Euler, na forma
x^2y'' + b,x,y' + c,y = 0,
com b,cinR. Queremos verificar que uma função do tipo
y(x)=x^r
pode satisfazer essa equação para certos valores constantes de r, e derivar a condição que r deve obedecer.

Passo 2

Supondo y(x)=x^r, calculamos as derivadas necessárias para substituir na equação:
y'(x) = r,x^r-1,
y''(x) = r(r-1),x^r-2

Passo 3

Substituímos essas expressões em
x^2y'' + b,x,y' + c,y = 0
Fazendo a substituição:
x^2l[r(r-1),x^r-2r] ;+; b,xl[r,x^r-1r] ;+; cl[x^rr] = r(r-1),x^r + b,r,x^r + c,x^r
Fatorando x^r, obtemos
x^rl[r(r-1) + b,r + cr] = 0

Passo 4

Como x^r não se anula para x>0, a única forma de a soma ser zero é exigir
r(r-1) + b,r + c = 0
Expandindo,
r^2 - r + b,r + c = r^2 + (b-1),r + c = 0
Portanto, y(x)=x^r é solução da equação de Euler se, e somente se, r satisfaz
r^2 + (b-1),r + c = 0,
que é justamente a chamada equação indicial.

Resposta

Os valores de r que tornam y(x)=x^r solução satisfazem a equação indicial
r^2 + (b-1),r + c = 0

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