Calcular integral duplaR f(x, y) d A, sendo:
f(x, y)=1+4 x y R=[0,1] X[1,3]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
f(x,y)=1+4xy
sobre o retângulo
R = [0,1]times[1,3]
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Fubini, que nos permite transformar a integral dupla numa integral iterada.

Passo 2

Pela Fubini, podemos escrever
integral duplaRf(x,y),dA =integraly=1^3!l(integralx=0^1(1+4xy),dxr)dy
Agora basta calcular primeiro a integral interna em x.

Passo 3

Para a integral interna temos
integral0^1(1+4xy),dx =integral0^11,dx + 4yintegral0^1x,dx
Cada parte fica
integral0^11,dx = 1, integral0^1x,dx = gl[tfracx^22gr]0^1 = tfrac12,
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integral0^1(1+4xy),dx = 1 + 4ycdottfrac12 = 1 + 2y

Passo 4

Agora integramos em y:
integral1^3(1+2y),dy =integral1^31,dy + 2integral1^3y,dy =(3-1) + 2gl[tfracy^22gr]1^3 =2 + l(3^2 - 1^2r) =2 + (9-1) =10

Resposta

O valor da integral dupla é 10.

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