Calcular:
integral duplaR(3 y-2 x^2) d A para R:-1 <= x <= 2 ; 1 <= y <= 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR(3y-2x^2),dA sobre o retângulo R definido por -1<= x<= 2 e 1<= y<= 3. O conteúdo é integral dupla em região retangular e vamos usar o teorema de Fubini para escrever como integral iterada, precisando achar antiderivadas em y e x.

Passo 2

Pela Fubini, podemos reescrever a integral como
integral duplaR(3y-2x^2),dA = integralx=-1^2l(integraly=1^3(3y-2x^2),dyr)dx

Passo 3

Integramos primeiro em y, tratando x como constante. A antiderivada de 3y é tfrac32y^2 e de -2x^2 é -2x^2y. Assim:
integraly=1^3(3y-2x^2),dy = l[tfrac32y^2 -2x^2yr]1^3 = l(tfrac32cdot9 -6x^2r) - l(tfrac32cdot1 -2x^2r) = 12 -4x^2

Passo 4

Agora integramos em x: a antiderivada de 12 é 12x e de -4x^2 é -tfrac43x^3. Logo:
integralx=-1^2(12-4x^2),dx = l[12x - tfrac43x^3r]-1^2

Passo 5

Avaliar nos limites:
l(24 - tfrac323r) - l(-12 + tfrac43r) = 36 - tfrac363 = 24

Resposta

24

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