- Seja
. Verifique se:
(a)
é contínua em
.
(b)
é derivável em
.
(a)
(b)
Passo 1
A questão apresenta a função por partes
O assunto é verificar continuidade e derivabilidade em x=1, usando definições de limites laterais e de derivada pelo quociente incremental.
Passo 2
Para testar continuidade em x=1, lembramos que f é contínua em x₀ se
Vamos calcular cada termo:
Passo 3
Calculando o valor da função em x=1: f(1)=2·1−1=1.
Calculando o limite à esquerda:
Calculando o limite à esquerda:
Calculando o limite à direita:
Como todos os três resultados são iguais a 1, f é contínua em x=1.
Passo 4
Para testar derivabilidade em x=1, usamos a definição:
E verificamos se os limites laterais existem e coincidem.
Passo 5
Derivada à esquerda (h→0⁻): para h<0 vale f(1+h)=(1+h)^2, então
Logo
Passo 6
Derivada à direita (h→0⁺): para h>0 vale f(1+h)=2(1+h)-1=1+2h, então
Logo
Como ambas as derivadas laterais são iguais a 2, f é derivável em x=1 e f’(1)=2.
Resposta
(a) Sim, f é contínua em x=1. (b) Sim, f é derivável em x=1 e f’(1)=2.