1. Seja ccc2 x-1 & se & x >= 1 x^2 & se & x<1. Verifique se:
    (a) f é contínua em x=1.
    (b) f é derivável em x=1.

Passo 1

A questão apresenta a função por partes
f(x)=2x-1,&x>=1x^2,&x<1
O assunto é verificar continuidade e derivabilidade em x=1, usando definições de limites laterais e de derivada pelo quociente incremental.

Passo 2

Para testar continuidade em x=1, lembramos que f é contínua em x₀ se
limxto x₀^-f(x)=limxto x₀^+f(x)=f(x₀)
Vamos calcular cada termo:

Passo 3

Calculando o valor da função em x=1: f(1)=2·1−1=1.
Calculando o limite à esquerda:
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1
Calculando o limite à direita:
limxto1^+f(x)=limxto1^+(2x-1)=2·1−1=1
Como todos os três resultados são iguais a 1, f é contínua em x=1.

Passo 4

Para testar derivabilidade em x=1, usamos a definição:
f'(1)=limhto0f(1+h)-f(1)h
E verificamos se os limites laterais existem e coincidem.

Passo 5

Derivada à esquerda (h→0⁻): para h<0 vale f(1+h)=(1+h)^2, então
f(1+h)-f(1)h=(1+h)^2-1h=2h+h^2h=2+h
Logo
limhto0^-(2+h)=2

Passo 6

Derivada à direita (h→0⁺): para h>0 vale f(1+h)=2(1+h)-1=1+2h, então
f(1+h)-f(1)h=1+2h-1h=2
Logo
limhto0^+2=2
Como ambas as derivadas laterais são iguais a 2, f é derivável em x=1 e f’(1)=2.

Resposta

(a) Sim, f é contínua em x=1. (b) Sim, f é derivável em x=1 e f’(1)=2.

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