Calcule onde B é a região limitada pela reta e pelas parábolas :
Dica: Encontre B
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região . Esse tipo de problema pertence ao estudo de Cálculo Integral, mais especificamente às Integrais Duplas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região em termos de limites de integração e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região que estamos integrando. A região é limitada pela reta e pela parábola . Para visualizar melhor, vamos esboçar essas curvas:
Reta : É uma linha reta que cruza o eixo em e tem inclinação 1.
Parábola : Podemos reescrever como , que é uma parábola voltada para a direita.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites de . Igualando as duas expressões para :
Resolvendo essa equação:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, e .
Portanto, os limites de vão de a . Para cada valor de nesse intervalo, varia de até .
Passo 3
Agora que temos os limites de integração, podemos escrever a integral dupla:
Aqui, representa o elemento de área, que no caso de integrais duplas é .
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Como é considerado constante nessa integral, podemos tratar fora da integral:
Calculando a integral de em relação a :
Vamos simplificar isso:
Primeiro, expandimos e :
Substituindo de volta:
Combinando termos semelhantes:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a integral-2^4 ( -y^58 + 2y^3 + y^2 - 4y ) dy :
integral -y^58 , dy = -y^648 integral 2y^3 , dy = 2y^44 = y^42 integral y^2 , dy = y^33 integral -4y , dy = -2y^2