Calcule integral duplaB x y d A onde B é a região limitada pela reta y=x-1 e pelas parábolas y^2=2 x+6:
Dica: Encontre B
Resp.: B=(x, y) in Re^2 /-2 <= y <= 4 ; y^22-3 <= x <= y+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região . Esse tipo de problema pertence ao estudo de Cálculo Integral, mais especificamente às Integrais Duplas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região em termos de limites de integração e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região y^22 - 3 = y + 1 que estamos integrando. A região é limitada pela reta y^22 - y - 4 = 0 y^2 - 2y - 8 = 0 e pela parábola y = 2 pm raiz4 + 322 = 2 pm raiz362 = 2 pm 62 . Para visualizar melhor, vamos esboçar essas curvas:
  • Reta : É uma linha reta que cruza o eixo em e tem inclinação 1.
  • Parábola : Podemos reescrever como , que é uma parábola voltada para a direita.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites de . Igualando as duas expressões para :
Resolvendo essa equação:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, e .
Portanto, os limites de vão de a . Para cada valor de nesse intervalo, varia de até .

Passo 3

Agora que temos os limites de integração, podemos escrever a integral dupla:
integral duplaB x y , dA = integraly=-2^4 integralx=y^22 - 3^y + 1 x y , dx , dy
Aqui, representa o elemento de área, que no caso de integrais duplas é .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integraly^22 - 3^y + 1 x y , dx :
y integraly^22 - 3^y + 1 x , dx
Como y [ x^22 ]y^22 - 3^y + 1 = y ( (y + 1)^22 - ( y^22 - 3 )^22 ) é considerado constante nessa integral, podemos tratar (y + 1)^2 = y^2 + 2y + 1 ( y^22 - 3 )^2 = ( y^22 )^2 - 2 cdot y^22 cdot 3 + 3^2 = y^44 - 3y^2 + 9 fora da integral:
y ( y^2 + 2y + 12 - y^44 - 3y^2 + 92 ) = y ( y^2 + 2y + 1 - y^44 + 3y^2 - 92 )
Calculando a integral de y ( -y^44 + 4y^2 + 2y - 8 2 ) = y cdot ( -y^48 + 2y^2 + y - 4 ) em relação a :
Vamos simplificar isso:
Primeiro, expandimos e :
Substituindo de volta:
Combinando termos semelhantes:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a integral-2^4 ( -y^58 + 2y^3 + y^2 - 4y ) dy :
integral -y^58 , dy = -y^648 integral 2y^3 , dy = 2y^44 = y^42 integral y^2 , dy = y^33 integral -4y , dy = -2y^2
Calculemos cada termo separadamente:
-y^648 + y^42 + y^33 - 2y^2 |-2^4
Então, a integral completa é:
-4^648 + 4^42 + 4^33 - 2 cdot 4^2 = -409648 + 2562 + 643 - 32 = -8533 + 128 + 2133 - 32 = 32
Agora, substituímos -(-2)^648 + (-2)^42 + (-2)^33 - 2 cdot (-2)^2 = -6448 + 162 + -83 - 8 = -133 + 8 - 266 - 8 = -4 e 32 - (-4) = 36 :
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral dupla é 36.

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