Resolver as inequações modulares abaixo:
|2 x-14-x|>2;

Passo 1

A inequação dada é |2x-14-x|>2. Isso é uma desigualdade de valor absoluto aplicada a uma expressão racional. Vamos usar a propriedade de módulo: |A|>B com B>0 equivale a A>B ou A< -B. Também lembramos que o denominador 4-x não pode ser zero, logo xneq4.

Passo 2

Reescrevendo com a definição de módulo, temos duas desigualdades equivalentes:
2x-14-x>2
ou
2x-14-x<-2

Passo 3

Agora vamos resolver cada caso dividindo em subcasos conforme o sinal de 4-x.
Para 2x-14-x>2:
  • Se x<4, então 4-x>0 e podemos multiplicar sem trocar o sinal: 2x-1>2(4-x)=8-2x 4x>9implies x>tfrac94 Conjugando com x<4, fica tfrac94
  • Se x>4, então 4-x<0 e, ao multiplicar, invertemos o sinal: 2x-1<2(4-x)=8-2x 4x<9implies xIsso não se sobrepõe a x>4, logo não há solução nesse subcaso.

Passo 4

Para 2x-14-x<-2:
  • Se x<4, então 4-x>0 e multiplicamos normalmente: 2x-1<-2(4-x)=-8+2x -1<-8 que é sempre falso, sem solução aqui.
  • Se x>4, então 4-x<0 e multiplicamos trocando o sinal: 2x-1>-2(4-x)=-8+2x -1>-8 que é sempre verdadeiro para todo x>4.

Passo 5

Juntando as regiões válidas e lembrando de excluir x=4, obtemos
tfrac944

Resposta

xin(tfrac94,4)cup(4,infty)

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