Calcular a integral integral duplaS rot F cdot d S aplicando o Teorema de Stokes (mostre os detalhes) onde F=y z i+x z j+x y k e S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1 e acima do plano z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de superfície envolvendo o rotacional de um campo vetorial F usando o Teorema de Stokes. O enunciado nos dá F = y z i + x z j + x y k e a superfície S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1 e acima do plano z=0. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de F e parametrizar a curva de contorno C.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por rot F ou nabla times F, nos dá uma medida de quanto o campo gira em torno de um ponto. Para calcular o rotacional de F = y z i + x z j + x y k, usamos a fórmula do determinante:
rot F = nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y z & x z & x y

Passo 3

Vamos calcular esse determinante passo a passo:
rot F = i ( partial (x y)partial y - partial (x z)partial z ) - j ( partial (x y)partial x - partial (y z)partial z ) + k ( partial (x z)partial x - partial (y z)partial y )
Calculando cada termo:
partial (x y)partial y = x, partial (x z)partial z = x
partial (x y)partial x = y, partial (y z)partial z = y
partial (x z)partial x = z, partial (y z)partial y = z
Substituindo de volta:
rot F = i (x - x) - j (y - y) + k (z - z) = 0

Passo 4

Vendo que o rotacional de F é o vetor nulo, rot F = 0, isso significa que a integral de superfície do rotacional sobre qualquer superfície será zero. Mas vamos confirmar isso usando o Teorema de Stokes para garantir que não falta nada.

Passo 5

O Teorema de Stokes nos diz que:
integral duplaS rot F cdot d S = ointC F cdot d r
Onde C é a curva de contorno de S. Já que rot F = 0, a integral de superfície será zero, independentemente da curva C.

Resposta

A integral integral duplaS rot F cdot d S é igual a zero.

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