Calcular a integral aplicando o Teorema de Stokes (mostre os detalhes) onde e é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de superfície envolvendo o rotacional de um campo vetorial usando o Teorema de Stokes. O enunciado nos dá e a superfície é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de e parametrizar a curva de contorno .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por ou , nos dá uma medida de quanto o campo gira em torno de um ponto. Para calcular o rotacional de , usamos a fórmula do determinante:
Passo 3
Vamos calcular esse determinante passo a passo:
rot F = i ( partial (x y)partial y - partial (x z)partial z ) - j ( partial (x y)partial x - partial (y z)partial z ) + k ( partial (x z)partial x - partial (y z)partial y )
Calculando cada termo:
partial (x y)partial y = x, partial (x z)partial z = x
partial (x y)partial x = y, partial (y z)partial z = y
partial (x z)partial x = z, partial (y z)partial y = z
Substituindo de volta:
rot F = i (x - x) - j (y - y) + k (z - z) = 0
Passo 4
Vendo que o rotacional de F é o vetor nulo, rot F = 0, isso significa que a integral de superfície do rotacional sobre qualquer superfície será zero. Mas vamos confirmar isso usando o Teorema de Stokes para garantir que não falta nada.
Passo 5
O Teorema de Stokes nos diz que:
integral duplaS rot F cdot d S = ointC F cdot d r
Onde C é a curva de contorno de S. Já que rot F = 0, a integral de superfície será zero, independentemente da curva C.
Resposta
A integral integral duplaS rot F cdot d S é igual a zero.