Determine x in R para que z=2 x+i3+x i seja:
a) Real
b) Imaginário não puro

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores reais de x tal que o número complexo z=2x+i3+xi seja (a) real e (b) imaginário não puro. Vamos usar o conteúdo de números complexos: para isso, precisamos escrever z na forma a+bi (onde a,bin R) usando a técnica de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

Passo 2

Vamos multiplicar numerador e denominador de z pelo conjugado de 3+xi, que é 3-xi:
z=2x+i3+xicdot3-xi3-xi=(2x+i)(3-xi)(3+xi)(3-xi)
No denominador, aplicamos (3+xi)(3-xi)=3^2-(xi)^2=9+ x^2. No numerador, distribuímos:
(2x+i)(3-xi)=2xcdot3+2xcdot(-xi)+icdot3+icdot(-xi)=6x-2x^2i+3i-xi^2

Passo 3

Como i^2=-1, temos -xi^2= -x(-1)=x. Logo o numerador fica
6x + x + i(3 -2x^2)=7x + i(3-2x^2)
Portanto
z=7x9+x^2+i,3-2x^29+x^2

Passo 4

a) Para z ser real, a parte imaginária deve ser zero:
3-2x^29+x^2=0implies3-2x^2=0implies x^2=tfrac32implies x=pmraiztfrac32

Passo 5

b) Para z ser imaginário não puro (isto é, ter as partes real e imaginária ambas diferentes de zero), impomos:
Re(z)=7x9+x^2neq0implies xneq0,
Im(z)=3-2x^29+x^2neq0implies x^2neqtfrac32implies xneqpmraiztfrac32Assim, z é imaginário não puro para todos os xin R diferentes de 0,pmraiz3/2.

Resposta

a) x=\pm\sqrt{3/2}. b) x\in\mathbb R\setminus{0,\pm\sqrt{3/2}}.

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