Use o Teorema Fundamental do Cálculo para justificar por que a integral de uma função derivada retorna a própria função (até uma constante).
Passo 1
O enunciado pede para usarmos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para explicar por que
integrar uma derivada “nos traz de volta” a função original, salvo uma constante de integração. Vamos trabalhar
com uma função f que seja diferenciável em um intervalo [a,b], de modo que f′ é contínua em [a,b].
integrar uma derivada “nos traz de volta” a função original, salvo uma constante de integração. Vamos trabalhar
com uma função f que seja diferenciável em um intervalo [a,b], de modo que f′ é contínua em [a,b].
Passo 2
O TFC tem duas partes. A parte relevante aqui é a primeira (às vezes chamada de TFC1), que diz que, definindo
uma nova função G por
uma nova função G por
então G é diferenciável em (a,b) e satisfaz G′(x)=f’(x).
Passo 3
Agora observe que a função H definida por
é também diferenciável em [a,b] e tem derivada
Portanto G′(x)=H′(x) para todo x em (a,b). Isso implica que G e H só podem diferir por uma constante, isto é,
existe C₁ tal que
existe C₁ tal que
Passo 4
Para achar C₁, basta avaliar em x=a: temos G(a)=\int_{a}^{a}f’(t)dt=0 e H(a)=f(a)-f(a)=0, logo
0=G(a)=H(a)+C₁=0+C₁, de onde C₁=0. Assim
0=G(a)=H(a)+C₁=0+C₁, de onde C₁=0. Assim
Passo 5
Se quisermos a antiderivada geral, podemos reescrever essa igualdade como
pois o termo –f(a) vira parte da constante arbitrária C. Portanto, integrar a derivada de f retorna f
mais uma constante de integração.
mais uma constante de integração.
Passo 6
Em resumo, o TFC garante que qualquer antiderivada de f′ é f mais uma constante, justamente
.