Use o Teorema Fundamental do Cálculo para justificar por que a integral de uma função derivada retorna a própria função (até uma constante).

Passo 1

O enunciado pede para usarmos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para explicar por que
integrar uma derivada “nos traz de volta” a função original, salvo uma constante de integração. Vamos trabalhar
com uma função f que seja diferenciável em um intervalo [a,b], de modo que f′ é contínua em [a,b].

Passo 2

O TFC tem duas partes. A parte relevante aqui é a primeira (às vezes chamada de TFC1), que diz que, definindo
uma nova função G por
G(x)=integrala^xf'(t),dt
então G é diferenciável em (a,b) e satisfaz G′(x)=f’(x).

Passo 3

Agora observe que a função H definida por
H(x)=f(x)-f(a)
é também diferenciável em [a,b] e tem derivada
H'(x)=f'(x)
Portanto G′(x)=H′(x) para todo x em (a,b). Isso implica que G e H só podem diferir por uma constante, isto é,
existe C₁ tal que
G(x)=H(x)+C₁=f(x)-f(a)+C₁

Passo 4

Para achar C₁, basta avaliar em x=a: temos G(a)=\int_{a}^{a}f’(t)dt=0 e H(a)=f(a)-f(a)=0, logo
0=G(a)=H(a)+C₁=0+C₁, de onde C₁=0. Assim
integrala^xf'(t),dt=G(x)=f(x)-f(a)

Passo 5

Se quisermos a antiderivada geral, podemos reescrever essa igualdade como
integral f'(x),dx=f(x)+C,
pois o termo –f(a) vira parte da constante arbitrária C. Portanto, integrar a derivada de f retorna f
mais uma constante de integração.

Passo 6

Em resumo, o TFC garante que qualquer antiderivada de f′ é f mais uma constante, justamente
integral f'(x)dx=f(x)+C.

Resposta

integral f'(x),dx=f(x)+C

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