Calcular integral duplaS(x+y+z) d S, onde:
S é a face superior do cubo 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1,0 <= z <= 1.

Passo 1

Fala! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular a integral dupla de x + y + z sobre a face de cima de um cubo onde x, y e z variam de 0 a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais sobre superfícies planas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é a face superior do cubo. Como estamos falando da face de cima, a coordenada z nessa face é sempre igual a 1.

Passo 3

Com isso em mente, substituímos z = 1 na função que queremos integrar:
x + y + z = x + y + 1
Agora, nossa integral dupla fica:
integral duplaS (x + y + 1) , dS

Passo 4

Como a superfície S é plana e está no plano z = 1, a área diferencial dS pode ser simplificada para dx , dy. Então, a integral fica:
integral duplaS (x + y + 1) , dx , dy

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração. Como o cubo vai de 0 a 1 em x e y, nossos limites são:
0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1
Portanto, a integral fica:
integral0^1 integral0^1 (x + y + 1) , dx , dy

Passo 6

Vamos começar integrando em relação a x:
integral0^1 (x + y + 1) , dx = integral0^1 x , dx + integral0^1 y , dx + integral0^1 1 , dx

Passo 7

Calculando cada parte:
integral0^1 x , dx = [ x^22 ]0^1 = 12
integral0^1 y , dx = y cdot (1 - 0) = y
integral0^1 1 , dx = 1 cdot (1 - 0) = 1
Somando tudo:
12 + y + 1 = y + 32

Passo 8

Agora, integramos em relação a y:
integral0^1 ( y + 32 ) dy = integral0^1 y , dy + integral0^1 32 , dy

Passo 9

Calculando cada parte:
integral0^1 y , dy = [ y^22 ]0^1 = 12
integral0^1 32 , dy = 32 cdot (1 - 0) = 32
Somando tudo:
12 + 32 = 2

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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