Calcular
, onde:
é a face superior do cubo
,
.
Passo 1
Fala! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a face de cima de um cubo onde
,
e
variam de 0 a 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais sobre superfícies planas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual é a face superior do cubo. Como estamos falando da face de cima, a coordenada
nessa face é sempre igual a 1.
Passo 3
Com isso em mente, substituímos
na função que queremos integrar:
Agora, nossa integral dupla fica:
Passo 4
Como a superfície
é plana e está no plano
, a área diferencial
pode ser simplificada para
. Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos definir os limites de integração. Como o cubo vai de 0 a 1 em
e
, nossos limites são:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Vamos começar integrando em relação a
:
Passo 7
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Passo 9
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Resposta
O valor da integral dupla é 2.