Verifique que para todo natural
e todo real
Passo 1
O enunciado pede para usar integração por partes para derivar uma fórmula de redução de ordem na integral
, onde
é natural (
) e
.
Passo 2
Escolhemos as funções para integração por partes:
e
. Assim, calculamos as derivadas e antiderivadas associadas.
Passo 3
Derivamos
e integramos
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes
, obtemos:
Passo 5
Fazendo as simplificações (tirando constantes para fora da integral e cuidando dos sinais), chega-se a:
que era justamente a fórmula que precisávamos verificar.