Verifique que para todo natural n >= 1 e todo real s>0
integral t^n e^-s t d t=-1s t^n e^-s t+ns integral t^n-1 e^-s t d t

Passo 1

O enunciado pede para usar integração por partes para derivar uma fórmula de redução de ordem na integral integral t^ne^-st,dt, onde n é natural ( n>=1) e s>0.

Passo 2

Escolhemos as funções para integração por partes:
u = t^n e dv = e^-st,dt. Assim, calculamos as derivadas e antiderivadas associadas.

Passo 3

Derivamos u e integramos dv:
du = n,t^n-1,dt,
v = integral e^-st,dt = -1se^-st

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes integral u,dv = u v - integral v,du, obtemos:
integral t^n e^-st,dt = t^nl(-1se^-str) - integral l(-1se^-str),n,t^n-1,dt

Passo 5

Fazendo as simplificações (tirando constantes para fora da integral e cuidando dos sinais), chega-se a:
integral t^ne^-st,dt = -1st^ne^-st + nsintegral t^n-1e^-st,dt,
que era justamente a fórmula que precisávamos verificar.

Resposta

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