Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(d) f(x)=raizx, x0=1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f no ponto x₀, onde f(x)=√x e x₀=1. O conteúdo é derivada pelo limite da taxa de variação média, ou seja, a definição f′(x₀)=limₕ→₀[f(x₀+ h)–f(x₀)]/h.

Passo 2

Usando a definição de derivada no ponto x₀=1, escrevemos o limite:
limhto 0 raiz1+h-raiz1h = limhto 0 raiz1+h-1h

Passo 3

Para resolver esse limite, racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo pelo conjugado raiz1+h+1:
limhto 0 (raiz1+h-1)(raiz1+h+1)h(raiz1+h+1) = limhto 0 (1+h)-1h(raiz1+h+1)

Passo 4

Simplificando o numerador (1+h)-1=h, o limite fica:
limhto 0 hh(raiz1+h+1) = limhto 0 1raiz1+h+1

Passo 5

Agora basta substituir h=0 no denominador:
1raiz1+0+1 = 11+1 = 12

Resposta

f'(1)=tfrac12

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