Nos exercícios 12 a 19, usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada.
Calcular
onde
é a superfície exterior do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos
.
Calcular
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde S é o cubo exterior limitado por 0 ≤ x,y,z ≤ 2. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema da Divergência, que transforma essa integral de superfície numa integral tripla do divergente sobre o volume.
Passo 2
Associamos a forma diferencial ao fluxo de um campo vetorial
tal que
Segundo o Teorema da Divergência, temos
Passo 3
Precisamos calcular o divergente
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência, a integral vira
onde V é o cubo 0≤x≤2, 0≤y≤2, 0≤z≤2.
Passo 5
Agora calculamos a integral tripla. Primeiro integramos em x e z, que são variáveis livres sem dependência no integrando, cada uma variando de 0 a 2, gerando fator 2×2=4. Então:
Resposta
48