Nos exercícios 12 a 19, usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada.
Calcular
I=integral duplaS[(4 x-y) d y d z+y^2 d z d x-x y d x d y]
onde S é a superfície exterior do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=2, y=2 e z=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
I=integral duplaSl[(4x-y),dy,dz + y^2,dz,dx - xy,dx,dyr]
onde S é o cubo exterior limitado por 0 ≤ x,y,z ≤ 2. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema da Divergência, que transforma essa integral de superfície numa integral tripla do divergente sobre o volume.

Passo 2

Associamos a forma diferencial ao fluxo de um campo vetorial F=(P,Q,R) tal que
P=4x-y, Q=y^2, R=-xy
Segundo o Teorema da Divergência, temos
I=integral duplaSFcdot dS=integral triplaV(nablacdotF),dV

Passo 3

Precisamos calcular o divergente
nablacdotF=partial Ppartial x+partial Qpartial y+partial Rpartial z =4+2y+0=4+2y

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência, a integral vira
I=integral triplaV(4+2y),dV,
onde V é o cubo 0≤x≤2, 0≤y≤2, 0≤z≤2.

Passo 5

Agora calculamos a integral tripla. Primeiro integramos em x e z, que são variáveis livres sem dependência no integrando, cada uma variando de 0 a 2, gerando fator 2×2=4. Então:
I=4integral0^2(4+2y),dy =4l[4y+y^2r]0^2 =4(8+4)=4times12=48

Resposta

48

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