Calcular a integral por expressão trigonométrica
integral ctg(x)cos ^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral ctg(x)cos^2(x),dx
O conteúdo aqui é integração por substituição, usando a derivada de tan(x) e a relação ctg(x)=1/tan(x).

Passo 2

Fazemos a substituição
t = tan(x),
portanto
dt = sec^2(x),dx
Repare que ctg(x)=1/tan(x)=1/t e que dx aparece junto de sec^2(x).

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de t, temos
ctg(x)cos^2(x),dx = cot(x),sec^2(x),dx = 1t,dt
Assim a integral vira
integral 1t,dt

Passo 4

Integrando em t, obtemos
integral 1t,dt = lnl|tr| + C
Voltando a variável original t=tan(x), resulta
lnl|tan(x)r| + C

Resposta

integral ctg(x)cos^2(x),dx = lnl|tan(x)r| + C

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