Calcule a integral.
integralraiz2 / 3^2 / 3 d xx^5 raiz9 x^2-1

Passo 1

O enunciado pede calcular
integralraiz23^23dxx^5raiz9x^2-1
O conteúdo envolve integrais com raiz de expressão quadrática em x e potências de x. Vamos usar substituição trigonométrica, pois raiz9x^2-1 sugere 3x=sectheta.

Passo 2

Fazendo 3x=sectheta, temos x=tfracsectheta3. Derivando,
dx=13sectheta,tantheta,dtheta
Além disso,
9x^2-1=sec^2theta-1=tan^2theta Longrightarrow raiz9x^2-1=tantheta

Passo 3

Observe também que
x^5=sec^5theta3^5=sec^5theta243
Substituindo na integral, o integrando fica
1x^5raiz9x^2-1,dx =1sec^5theta243,tantheta ;cdot;13sectheta,tantheta,dtheta =81,cos^4theta,dtheta

Passo 4

Os limites em x convertem para theta assim:
quando x=tfracraiz23, 3x=raiz2impliessectheta=raiz2impliestheta=tfracpi4;
quando x=tfrac23, 3x=2impliessectheta=2impliestheta=tfracpi3.
Logo
integralraiz23^23dxx^5raiz9x^2-1 =81integralpi4^pi3cos^4theta,dtheta

Passo 5

Para integrar cos^4theta, usamos a identidade de redução
cos^4theta = l(tfrac1+cos2theta2r)^2 = 38 + 12cos2theta + 18cos4theta
Multiplicando por 81, o integrando vira
81cos^4theta =2438 + 812cos2theta + 818cos4theta

Passo 6

Integramos termo a termo:
integralcos^4theta,dtheta =integrall(tfrac38+tfrac12cos2theta+tfrac18cos4thetar),dtheta =38theta+14sin2theta+132sin4theta
Multiplicando por 81, um antiderivado é
F(theta) =2438theta+814sin2theta+8132sin4theta

Passo 7

Avaliaremos F em theta=tfracpi3 e theta=tfracpi4.
Para theta=tfracpi3:
Fl(tfracpi3r) =2438cdottfracpi3 +814sinl(tfrac2pi3r) +8132sinl(tfrac4pi3r) =81pi8+814,raiz32 +8132l(-raiz32r) =81pi8+567raiz364
Para theta=tfracpi4:
Fl(tfracpi4r) =2438cdottfracpi4 +814sinl(tfracpi2r) +8132sin(pi) =243pi32+814

Passo 8

Subtraindo os valores,
I =Fl(tfracpi3r)-Fl(tfracpi4r) =l(tfrac81pi8-tfrac243pi32r) +l(tfrac567raiz364-tfrac814r) =81pi32+567raiz3-129664

Resposta

81pi32+567raiz3-129664

Exercícios relacionados