Calcular a integral por expressão trigonométrica
integral sec ^3(x) tan ^3(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sec^3(x),tan^3(x),dx
Usaremos uma identidade trigonométrica para expressar tan^3(x) em termos de sec(x) e depois faremos uma substituição u=sec(x), já que d(sec x)=sec xtan x,dx.

Passo 2

Note que
tan^3(x)=tan^2(x),tan(x)
e vale a identidade
tan^2(x)=sec^2(x)-1
Logo
tan^3(x)=(sec^2(x)-1),tan(x)
Substituindo na integral, obtemos
integral sec^3(x),tan^3(x),dx =integral sec^3(x),(sec^2(x)-1),tan(x),dx =integral l(sec^5(x)-sec^3(x)r),tan(x),dx

Passo 3

Agora separamos um fator sec(x)tan(x),dx, que é exatamente d(sec x):
l(sec^5(x)-sec^3(x)r),tan(x),dx =l(sec^4(x)-sec^2(x)r),l[sec(x)tan(x),dxr]
Fazemos u=sec(x), então du=sec(x)tan(x),dx.

Passo 4

Em termos de u, a integral vira
integral l(sec^4(x)-sec^2(x)r),l[sec(x)tan(x),dxr] =integral l(u^4-u^2r),du
Agora é só integrar polinomialmente:
integral l(u^4-u^2r),du =u^55-u^33+C

Passo 5

Voltando a u=sec(x), concluímos
integral sec^3(x),tan^3(x),dx =sec^5(x)5-sec^3(x)3+C

Resposta

sec^5(x)5-sec^3(x)3+C

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