Calcular a integral por expressão trigonométrica
integral sen^2(x) cos ^2(x) d x

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral
integral sin^2(x)cos^2(x),dx
usando identidades trigonométricas de redução de potência.

Passo 2

Usamos as fórmulas
sin^2(x)=1-cos(2x)2, cos^2(x)=1+cos(2x)2
Multiplicando-as,
sin^2(x)cos^2(x) =1-cos(2x)2cdot1+cos(2x)2 =1-cos^2(2x)4 =14,sin^2(2x)
E ainda aplicamos de novo a redução de potência em sin^2(2x):
sin^2(2x)=1-cos(4x)2 Longrightarrow sin^2(x)cos^2(x) =14cdot1-cos(4x)2 =18l(1-cos(4x)r)

Passo 3

Agora a integral vira
integral sin^2(x)cos^2(x),dx =integral 18l(1-cos(4x)r),dx =18integral 1,dx -18integral cos(4x),dx
Integramos cada parte:
18integral 1,dx=x8, integral cos(4x),dx=sin(4x)4

Passo 4

Juntando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
integral sin^2(x)cos^2(x),dx =x8 -18cdotsin(4x)4 + C =x8-sin(4x)32+C

Resposta

x8-sin(4x)32+C

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