Calcular a integral por substituição trigonométrica
integralraiz2 / 3^2 / 3 d xx^5 raiz9 x^2-1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
integralx=raiz2/3^2/3dxx^5raiz9x^2-1
usando substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição que transforma raiz9x^2-1 em função de um ângulo theta e, em seguida, aplicar identidades trigonométricas para integrar.

Passo 2

Fazemos a substituição
3x = sectheta, x = 13sectheta
Então
dx = 13secthetatantheta,dtheta, raiz9x^2-1 = raizsec^2theta-1 = tantheta,
e
x^5 = l(tfrac13secthetar)^5 = 13^5sec^5theta

Passo 3

Substituindo na integral obtemos
dxx^5raiz9x^2-1 = tfrac13secthetatantheta,dtheta tfrac13^5sec^5theta;tantheta =3^4secthetatanthetasec^5thetatantheta,dtheta =81cos^4theta,dtheta
Logo a integral passa a ser
integral dxx^5raiz9x^2-1 =81integral cos^4theta,dtheta

Passo 4

Precisamos mudar os limites de x para theta. Quando x=raiz2/3, temos
sectheta=raiz2 implies costheta=1raiz2 implies theta=pi4
Quando x=2/3, temos
sectheta=2 implies costheta=12 implies theta=pi3
Portanto os limites são theta=pi/4 até theta=pi/3.

Passo 5

Usamos a identidade de redução
cos^4theta =3+4cos2theta+cos4theta8
Então
81integralpi/4^pi/3cos^4theta,dtheta = 818 integralpi/4^pi/3l(3+4cos2theta+cos4thetar)dtheta
Calculando a antiderivada:
integrall(3+4cos2theta+cos4thetar)dtheta =3theta+2sin2theta+tfrac14sin4theta
Avaliando de pi/4 a pi/3
l[3theta+2sin2theta+tfrac14sin4thetar]pi/4^pi/3 =l(pi+7raiz38r)-l(tfrac3pi4+2r) =pi4+7raiz38-2
Multiplicando por 81/8 resulta
818l(pi4+7raiz38-2r) =81pi32+567raiz364-814

Resposta

integralraiz2/3^2/3dxx^5raiz9x^2-1 =81pi32+567raiz364-814

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