Calcule a integral.
integral d x[(a x)^2-b^2]^3 / 2

Passo 1

Estamos calculando a integral
integral dxl[(a x)^2 - b^2r]^3/2,
que envolve uma expressão da forma integral dx/(x^2 - c^2)^3/2. Uma estratégia clássica é usar a substituição trigonométrica
x = basectheta,
pois então (a x)^2 - b^2 = b^2tan^2theta.

Passo 2

Fazendo x = tfracbasectheta, temos
dx = basecthetatantheta,dtheta
e
(a x)^2 - b^2 = b^2tan^2theta
Logo o denominador fica
l[(a x)^2 - b^2r]^3/2 = (b^2tan^2theta)^3/2 = b^3|tan^3theta|
Assumindo theta no ramo em que tantheta>0, simplifica-se para b^3tan^3theta.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral dxl[(a x)^2 - b^2r]^3/2 = integral tfracbasecthetatantheta,dthetab^3tan^3theta = 1a,b^2integral secthetatan^2theta,dtheta
Como tan^2theta=sin^2theta/cos^2theta e sectheta=1/costheta, isso vira
1a,b^2integral costhetasin^2theta,dtheta = 1a,b^2integral sin^-2thetacostheta,dtheta
Fazendo u=sintheta, du=costheta,dtheta, obtém-se
1a,b^2integral u^-2,du = -1a,b^2,u+C = -1a,b^2,sintheta+C

Passo 4

Volta à variável x: como x=tfracbasectheta, temos sectheta=tfraca xb e
sintheta=raiz1-cos^2theta =raiz1-tfrac1sec^2theta =raiz1-b^2a^2x^2 =raiza^2x^2-b^2a|x|
Num ramo em que x> b/a>0, isso é sintheta=tfracraiza^2x^2-b^2a x. Então
-1a,b^2,sintheta = -1a,b^2,a xraiza^2x^2-b^2 = -xb^2raiza^2x^2-b^2

Passo 5

Concluímos que
integral dxl[(a x)^2 - b^2r]^3/2 = -xb^2raiz(a x)^2 - b^2 + C

Resposta

boxedintegral dxl[(a x)^2 - b^2r]^3/2 = -xb^2raiz(a x)^2 - b^2 + C

Exercícios relacionados