Calcular a integral por frações parciais
\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}+4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+4}}\,dx
Este é um tipo de integral com radical envolvendo x^{2}+a^{2}. Uma técnica eficiente é a substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2\tan\theta,
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dx = 2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{x^{2}+4} = \sqrt{4\tan^{2}\theta+4} = 2\operatorname{sec}\theta.
Substituindo na integral, temos
\frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+4}}\,dx = \frac{1}{(2\tan\theta)^{2}\,(2\operatorname{sec}\theta)}\;(2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta).

Passo 3

Simplificamos a expressão em \theta:
\frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta}{4\tan^{2}\theta\cdot2\operatorname{sec}\theta}\,d\theta = \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{4\tan^{2}\theta\,\operatorname{sec}\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\,\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}\,d\theta.
Como \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1, fica mais direto reescrever em termos de \sin\theta e \cos\theta:
\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta} = \frac{1/\cos\theta}{\sin^{2}\theta/\cos^{2}\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}.
Assim a integral vira
\int \frac{1}{4}\,\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\,d\theta.

Passo 4

Observamos que
\frac{d}{d\theta}\bigl(\csc\theta\bigr) = \frac{d}{d\theta}\!\bigl(\tfrac{1}{\sin\theta}\bigr) = -\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}.
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\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\,d\theta = -\,d(\csc\theta),
e
\frac{1}{4}\int \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\,d\theta = -\frac{1}{4}\,\csc\theta + C.

Passo 5

Retornando à variável x:
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sin\theta = \frac{x/2}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}},
portanto
\csc\theta = \frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x}.
Assim a primitiva fica
-\frac{1}{4}\,\csc\theta + C = -\frac{1}{4}\,\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x} + C.

Resposta

\int \frac{1}{x^{2}\sqrt{x^{2}+4}}\,dx = -\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{4\,x} + C.

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