Calcular a integral por substituição trigonométrica
\int \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}+3 e^{x}+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}+3e^x+2}\,dx
O conteúdo principal é usar substituição de variável para transformar a integral numa racional em u e depois aplicar frações parciais.

Passo 2

Faça a substituição
u = e^x\quad\Longrightarrow\quad du = e^x\,dx\quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{u}.
Note que e^{2x}=(e^x)^2 = u^2. Substituindo na integral:
\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}+3e^x+2}\,dx = \int \frac{u^2}{u^2+3u+2}\cdot\frac{du}{u} = \int \frac{u}{u^2+3u+2}\,du.

Passo 3

Observe que o denominador fatora:
u^2+3u+2 = (u+1)(u+2).
Então temos a integral racional
\int \frac{u}{(u+1)(u+2)}\,du.

Passo 4

Aplique frações parciais: procure A,B tais que
\frac{u}{(u+1)(u+2)} = \frac{A}{u+1} + \frac{B}{u+2}.
Multiplicando ambos os lados por (u+1)(u+2)
u = A(u+2) + B(u+1) = (A+B)\,u + (2A+B).
Comparando coeficientes:
A+B = 1,\quad 2A+B = 0 \quad\Longrightarrow\quad A=-1,\;B=2.

Passo 5

Logo
\int \frac{u}{(u+1)(u+2)}\,du = \int\Bigl(-\frac{1}{u+1} + \frac{2}{u+2}\Bigr)\,du = -\ln\lvert u+1\rvert + 2\ln\lvert u+2\rvert + C.

Passo 6

Retornando a x com u=e^x:
-\ln\lvert e^x+1\rvert + 2\ln\lvert e^x+2\rvert + C.

Resposta

-\ln\bigl(e^x+1\bigr) + 2\ln\bigl(e^x+2\bigr) + C.

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