Calcular a integral por frações parciais
\int \frac{3 x^{2}+1}{\left(x^{2}+1\right)(x-1)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{3x^{2}+1}{(x^{2}+1)(x-1)}\,dx
usando frações parciais. Vamos decompor o integrando na forma
\frac{A}{x-1} \;+\;\frac{Bx+C}{x^{2}+1}
e depois integrar cada parcela.

Passo 2

Assumindo a decomposição
\frac{3x^{2}+1}{(x^{2}+1)(x-1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1},
multiplicamos ambos os lados por (x^{2}+1)(x-1) para eliminar denominadores:
3x^{2}+1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x-1).

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x-1) = A x^{2} + A + Bx^{2} - Bx + Cx - C = (A+B)x^{2} + (C-B)x + (A-C).
Igualando coeficientes ao polinômio 3x^{2}+0x+1, obtemos o sistema
A + B = 3, \quad C - B = 0, \quad A - C = 1.
Da segunda equação vem C=B. Substituindo em A+B=3 e A-C=1, achamos
A=2,\quad B=1,\quad C=1.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
\int \frac{3x^{2}+1}{(x^{2}+1)(x-1)}\,dx = \int \Bigl(\frac{2}{x-1} + \frac{x+1}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx.
Separe em duas integrais:
\int \frac{2}{x-1}\,dx \;+\; \int \frac{x+1}{x^{2}+1}\,dx.
Para a primeira,
\int \frac{2}{x-1}\,dx = 2\ln\bigl|x-1\bigr|.
Para a segunda, escreva
\frac{x+1}{x^{2}+1} = \frac{x}{x^{2}+1} + \frac{1}{x^{2}+1},
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\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \tfrac12\ln\bigl(x^{2}+1\bigr), \quad \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(x).

Resposta

2\ln\bigl|x-1\bigr| + \tfrac12\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \arctan(x) + C

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