Encontre os coeficientes da expansão em autofunções \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \phi_{n}(x) da função
f(x)=x^{2}, \quad 0 \leq x<\frac{\pi}{2}
usando as autofunções normalizadas do item a.

Passo 1

O enunciado pede os coeficientes a_n da expansão
f(x)=x^2=\sum_{n=1}^\infty a_n\phi_n(x),
onde \{\phi_n(x)\} são as autofunções normalizadas obtidas no item a.

Passo 2

Para calcular cada coeficiente, usaríamos a fórmula de projeção em um conjunto ortonormal:
a_n = \int_{0}^{\pi/2} f(x)\,\phi_n(x)\,dx =\int_{0}^{\pi/2} x^2\,\phi_n(x)\,dx.
No entanto, sem a expressão explícita de \phi_n(x) e seu fator de normalização que vieram no item a, não é possível avaliar essa integral.

Resposta

Não há como determinar os coeficientes a_n sem o enunciado ou a fórmula das autofunções \phi_n(x) normalizadas do item a.

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