Calcular a integral
. (2,5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
O conteúdo principal aqui é mudança da ordem de integração (Teorema de Fubini) e uso de funções especiais (função erro).
Passo 2
Para usar Fubini, vamos descrever a região de integração em termos de
primeiro e depois
. O domínio em
é
Em particular,
varia de
(quando
) até
.
Passo 3
Para um
fixo, as condições
e
equivalem a
- Se
, então e vai de até . - Se
, então e vai de até .
Passo 4
Invertendo a ordem,
Passo 5
Como
não depende de
, as integrais internas em
saem como fator de comprimento do intervalo:
Logo
Passo 6
Separe a primeira integral:
Para a segunda parte use a substituição
,
:
E a primeira parte, por simetria, é
Passo 7
Reescrevendo tudo em termos da função erro
temos