Calcular a integral I=\int_{0}^{1} \int_{-x}^{4} e^{-y^{2}} d y d x. (2,5 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I=\int_{0}^{1}\int_{-x}^{4}e^{-y^{2}}\,dy\,dx.
O conteúdo principal aqui é mudança da ordem de integração (Teorema de Fubini) e uso de funções especiais (função erro).

Passo 2

Para usar Fubini, vamos descrever a região de integração em termos de y primeiro e depois x. O domínio em (x,y) é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;-x\le y\le4\}.
Em particular, y varia de -1 (quando x=1) até 4.

Passo 3

Para um y fixo, as condições 0\le x\le1 e -x\le y equivalem a
x\ge -y \quad\text{e}\quad 0\le x\le1.
  • Se -1\le y\le0, então -y\in[0,1] e x vai de -y até 1.
  • Se 0\le y\le4, então -y\le0 e x vai de 0 até 1.

Passo 4

Invertendo a ordem,
I =\int_{y=-1}^{0}\biggl[\int_{x=-y}^{1}e^{-y^{2}}\,dx\biggr]dy +\int_{y=0}^{4}\biggl[\int_{x=0}^{1}e^{-y^{2}}\,dx\biggr]dy.

Passo 5

Como e^{-y^{2}} não depende de x, as integrais internas em x saem como fator de comprimento do intervalo:
\int_{x=-y}^{1}e^{-y^{2}}\,dx=(1-(-y))\,e^{-y^{2}}=(1+y)e^{-y^{2}},
\int_{x=0}^{1}e^{-y^{2}}\,dx=1\cdot e^{-y^{2}}=e^{-y^{2}}.
Logo
I =\int_{-1}^{0}(1+y)e^{-y^{2}}\,dy +\int_{0}^{4}e^{-y^{2}}\,dy.

Passo 6

Separe a primeira integral:
\int_{-1}^{0}(1+y)e^{-y^{2}}\,dy =\int_{-1}^{0}e^{-y^{2}}\,dy +\int_{-1}^{0}y\,e^{-y^{2}}\,dy.
Para a segunda parte use a substituição u=y^{2}, du=2y\,dy:
\int_{-1}^{0}y\,e^{-y^{2}}\,dy =\frac12\int_{u=1}^{0}e^{-u}(-du) =\frac12\bigl(e^{-1}-1\bigr).
E a primeira parte, por simetria, é
\int_{-1}^{0}e^{-y^{2}}\,dy =\int_{0}^{1}e^{-t^{2}}\,dt.

Passo 7

Reescrevendo tudo em termos da função erro
\int_{0}^{a}e^{-y^{2}}\,dy =\frac{\sqrt\pi}{2}\,\erf(a),
temos
I =\int_{0}^{1}e^{-t^{2}}\,dt +\frac{e^{-1}-1}{2} +\int_{0}^{4}e^{-y^{2}}\,dy =\frac{\sqrt\pi}{2}\,\erf(1) +\frac{e^{-1}-1}{2} +\frac{\sqrt\pi}{2}\,\erf(4).

Resposta

I =\frac{\sqrt\pi}{2}\,\bigl(\erf(1)+\erf(4)\bigr) +\frac{e^{-1}-1}{2}.

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