Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e faça o esboço:
z=x^{2}+y^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede para colocar a superfície
z = x^{2} + y^{2} + 1
na forma padrão, identificar de que tipo de quádricas se trata e, por fim, esboçar como ela se parece. O conteúdo é classificação de superfícies quádricas (aqui, paraboloides) em geometria analítica 3D.

Passo 2

Para obter a forma padrão, basta isolar o termo quadrático em x,y em relação a z. Temos
z - 1 = x^{2} + y^{2}.
Esta é a forma canônica de um paraboloide elíptico deslocado.

Passo 3

Compare com a forma geral de um paraboloide elíptico
z = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}
aqui temos a=b=1 e um deslocamento vertical de +1. Logo, é um paraboloide elíptico que abre para cima, com vértice em (0,0,1).

Passo 4

Para visualizar o esboço, observe as curvas de nível (interseções com planos z=\text{constante}). Se z=c\ge1, então
c-1 = x^{2}+y^{2}
é um círculo de raio \sqrt{c-1} centrado em (0,0) no plano xy. À medida que z cresce, os círculos ficam maiores. Nas seções por planos x=\text{constante} ou y=\text{constante}, vê-se uma parábola típica.

Resposta

Forma padrão:
z - 1 = x^{2} + y^{2}.
Classificação: paraboloide elíptico com vértice em (0,0,1) e abertura para cima.
Esboço: família de círculos concêntricos no plano xy com raio \sqrt{z-1}, crescendo conforme z aumenta; na vista lateral, parábolas com vértice em (0,0,1).

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