Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e faça o esboço:
Passo 1
O enunciado pede para colocar a superfície
na forma padrão, identificar de que tipo de quádricas se trata e, por fim, esboçar como ela se parece. O conteúdo é classificação de superfícies quádricas (aqui, paraboloides) em geometria analítica 3D.
Passo 2
Para obter a forma padrão, basta isolar o termo quadrático em
em relação a
. Temos
Esta é a forma canônica de um paraboloide elíptico deslocado.
Passo 3
Compare com a forma geral de um paraboloide elíptico
aqui temos
e um deslocamento vertical de
. Logo, é um paraboloide elíptico que abre para cima, com vértice em
.
Passo 4
Para visualizar o esboço, observe as curvas de nível (interseções com planos
). Se
, então
é um círculo de raio
centrado em
no plano
. À medida que
cresce, os círculos ficam maiores. Nas seções por planos
ou
, vê-se uma parábola típica.
Resposta
Forma padrão:
Classificação: paraboloide elíptico com vértice em
e abertura para cima.
Esboço: família de círculos concêntricos no plano
com raio
, crescendo conforme
aumenta; na vista lateral, parábolas com vértice em
.