Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e faça o esboço:
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede (i) colocá-la em forma padrão, (ii) classificá-la e (iii) esboçá-la. O conteúdo é reconhecimento de quádricas: vamos reescrever na forma
e depois analisar os sinais e coeficientes para identificar o tipo de superfície.
Passo 2
Reunir todos os termos num só lado, em ordem
:
ou seja
Passo 3
Dividir ambos os lados por
para obter a forma padrão:
que simplifica para
Passo 4
Comparando com
vemos duas parcelas positivas e uma negativa. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha cujo eixo principal é o eixo
. De fato, para cada valor de
existe uma elipse em
dada por
Passo 5
Esboço da superfície:
No plano temos a elipse
No plano
com semi-eixos
e
. Para
maior, a elipse cresce porque o lado direito de
aumenta. A superfície é simétrica em relação ao plano
e tem como cone assintótico
ou seja
Resposta
A forma padrão é
Trata-se de um hiperbolóide de uma folha de eixo
. O esboço mostra elipses crescentes em cada
, com a elipse central em
de semi-eixos
e
, abrindo-se conforme o cone assintótico
.