Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e faça o esboço:
z^{2}=4 y^{2}+3 x^{2}-12

Passo 1

O enunciado dá a superfície
z^{2} = 4y^{2} + 3x^{2} - 12
e pede (i) colocá-la em forma padrão, (ii) classificá-la e (iii) esboçá-la. O conteúdo é reconhecimento de quádricas: vamos reescrever na forma
\pm \frac{x^{2}}{a^{2}} \pm \frac{y^{2}}{b^{2}} \pm \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1
e depois analisar os sinais e coeficientes para identificar o tipo de superfície.

Passo 2

Reunir todos os termos num só lado, em ordem x,y,z:
z^{2} - 4y^{2} - 3x^{2} + 12 = 0
ou seja
3x^{2} + 4y^{2} - z^{2} = 12.

Passo 3

Dividir ambos os lados por 12 para obter a forma padrão:
\frac{3x^{2}}{12} + \frac{4y^{2}}{12} - \frac{z^{2}}{12} = 1
que simplifica para
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} - \frac{z^{2}}{12} = 1.

Passo 4

Comparando com
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1,
vemos duas parcelas positivas e uma negativa. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha cujo eixo principal é o eixo z. De fato, para cada valor de z existe uma elipse em (x,y) dada por
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} \;=\;1 + \frac{z^{2}}{12}\;\ge1.

Passo 5

Esboço da superfície:
No plano z=0 temos a elipse
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1,
com semi-eixos 2 e \sqrt{3}. Para \lvert z\rvert maior, a elipse cresce porque o lado direito de
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 + \frac{z^{2}}{12}
aumenta. A superfície é simétrica em relação ao plano z=0 e tem como cone assintótico
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} - \frac{z^{2}}{12} = 0,
ou seja
z^{2} = 3x^{2} + 4y^{2}.

Resposta

A forma padrão é
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} - \frac{z^{2}}{12} = 1.
Trata-se de um hiperbolóide de uma folha de eixo z. O esboço mostra elipses crescentes em cada z, com a elipse central em z=0 de semi-eixos 2 e \sqrt{3}, abrindo-se conforme o cone assintótico \tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{y^{2}}{3}=\tfrac{z^{2}}{12}.

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