Calcular a integral indefinida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é o produto de potências de seno e cosseno, especificamente
e
. Não há limites de integração (é indefinida). O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) da função em termos de
, mais a constante de integração
.
Passo 2
Observação útil sobre a potência de
: quando temos uma potência ímpar de
(como
), é comum separar um fator
e expressar o resto em função de
usando a identidade pitagórica. Faço isso para facilitar uma substituição conveniente:
Aqui usei a identidade
, então
.
Passo 3
Substituo essa expressão na integral original:
Agora a integral está do tipo função de
vezes
, o que sugere a substituição
.
Passo 4
Faço a substituição
. Então calculemos
:
Portanto temos
. Vou trocar todas as ocorrências de
por
e
por
.
Passo 5
Aplicando essa mudança de variável na integral:
Tiro o sinal negativo para fora:
Passo 6
Expandindo o polinômio dentro da integral para integrar termo a termo:
Logo
Passo 7
Integro termo a termo usando a regra básica de potência:
a regra diz que para ,
a regra diz que para
Aplicando para
e
:
Como havia um sinal negativo à frente, obtemos
Passo 8
Volto à variável original
lembrando que
. Substituo
por
:
Pronto: essa é uma primitiva da função dada.