Calcular a integral indefinida:
\int \cos ^{6} y \sin ^{3} y d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos^{6} y \sin^{3} y \, dy.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de potências de seno e cosseno, especificamente \cos^{6} y e \sin^{3} y. Não há limites de integração (é indefinida). O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) da função em termos de y, mais a constante de integração C.

Passo 2

Observação útil sobre a potência de \sin: quando temos uma potência ímpar de \sin y (como \sin^{3} y), é comum separar um fator \sin y e expressar o resto em função de \cos y usando a identidade pitagórica. Faço isso para facilitar uma substituição conveniente:
\sin^{3} y = \sin^{2} y \cdot \sin y = (1-\cos^{2} y)\sin y.
Aqui usei a identidade \sin^{2} y + \cos^{2} y = 1, então \sin^{2} y = 1-\cos^{2} y.

Passo 3

Substituo essa expressão na integral original:
\int \cos^{6} y \sin^{3} y \, dy = \int \cos^{6} y \bigl(1-\cos^{2} y\bigr)\sin y \, dy.
Agora a integral está do tipo função de \cos y vezes \sin y\,dy, o que sugere a substituição u=\cos y.

Passo 4

Faço a substituição u=\cos y. Então calculemos du:
du = \frac{d}{dy}(\cos y)\,dy = -\sin y \, dy.
Portanto temos \sin y \, dy = -du. Vou trocar todas as ocorrências de \cos y por u e \sin y\,dy por -du.

Passo 5

Aplicando essa mudança de variável na integral:
\int \cos^{6} y \bigl(1-\cos^{2} y\bigr)\sin y \, dy = \int u^{6}\bigl(1-u^{2}\bigr)(-du).
Tiro o sinal negativo para fora:
= -\int u^{6}\bigl(1-u^{2}\bigr)\,du.

Passo 6

Expandindo o polinômio dentro da integral para integrar termo a termo:
u^{6}\bigl(1-u^{2}\bigr) = u^{6} - u^{8}.
Logo
-\int u^{6}\bigl(1-u^{2}\bigr)\,du = -\int\bigl(u^{6}-u^{8}\bigr)\,du.

Passo 7

Integro termo a termo usando a regra básica de potência:
a regra diz que para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando para u^{6} e u^{8}:
\int\bigl(u^{6}-u^{8}\bigr)\,du = \frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{9}}{9} + C.
Como havia um sinal negativo à frente, obtemos
-\left(\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{9}}{9}\right) + C = -\frac{u^{7}}{7} + \frac{u^{9}}{9} + C.

Passo 8

Volto à variável original y lembrando que u=\cos y. Substituo u por \cos y:
-\frac{u^{7}}{7} + \frac{u^{9}}{9} + C = -\frac{\cos^{7} y}{7} + \frac{\cos^{9} y}{9} + C.
Pronto: essa é uma primitiva da função dada.

Resposta

-\dfrac{\cos^{7} y}{7} + \dfrac{\cos^{9} y}{9} + C

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