Calcular a integral indefinida:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integrada é o produto de
por
. Não há limites (é indefinida), então o resultado será uma primitiva mais constante de integração.
Passo 2
Observação útil (motivação da escolha de método): a derivada de
é
. Isso sugere usar a substituição
pois então
Além disso, podemos escrever
como
para aproveitar o
:
Passo 3
Usamos a identidade pitagórica
. Substituindo
temos
. Portanto, trocando variáveis na integral,
Coloquei
e usei
.
Passo 4
Agora expandimos o produto
. Usando a propriedade de potências
,
Passo 5
Integramos termo a termo. Lembrando a regra da potência para integrais: para
,
Aplicando a cada termo:
Passo 6
Somando todas as primitivas obtemos, em
,
Passo 7
Voltamos à variável original usando
. Portanto a primitiva da integral dada é