Calcular a integral indefinida:
\int(1+\sqrt[3]{\sin t}) \cos ^{3} t d t

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int(1+\sqrt[3]{\sin t})\cos^{3}t\,dt.
Informações dadas: a função integrada é o produto de (1+\sqrt[3]{\sin t}) por \cos^{3}t. Não há limites (é indefinida), então o resultado será uma primitiva mais constante de integração.

Passo 2

Observação útil (motivação da escolha de método): a derivada de \sin t é \cos t. Isso sugere usar a substituição
u=\sin t,
pois então
du=\cos t\,dt.
Além disso, podemos escrever \cos^{3}t como \cos^{2}t\cdot\cos t para aproveitar o du=\cos t\,dt:
\cos^{3}t=(\cos^{2}t)\cos t.

Passo 3

Usamos a identidade pitagórica \cos^{2}t=1-\sin^{2}t. Substituindo \sin t=u temos \cos^{2}t=1-u^{2}. Portanto, trocando variáveis na integral,
(1+\sqrt[3]{\sin t})\cos^{3}t\,dt=(1+u^{1/3})(1-u^{2})\,du.
Coloquei \sqrt[3]{\sin t}=\sin^{1/3}t=u^{1/3} e usei du=\cos t\,dt.

Passo 4

Agora expandimos o produto (1+u^{1/3})(1-u^{2}). Usando a propriedade de potências u^{a}\cdot u^{b}=u^{a+b},
(1+u^{1/3})(1-u^{2}) = 1 - u^{2} + u^{1/3} - u^{1/3}\cdot u^{2} = 1 - u^{2} + u^{1/3} - u^{7/3}.

Passo 5

Integramos termo a termo. Lembrando a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando a cada termo:
\int 1\,du = u,
\int -u^{2}\,du = -\frac{u^{3}}{3},
\int u^{1/3}\,du = \frac{u^{1/3+1}}{1/3+1} = \frac{u^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}u^{4/3},
\int -u^{7/3}\,du = -\frac{u^{7/3+1}}{7/3+1} = -\frac{u^{10/3}}{10/3} = -\frac{3}{10}u^{10/3}.

Passo 6

Somando todas as primitivas obtemos, em u,
u - \frac{u^{3}}{3} + \frac{3}{4}u^{4/3} - \frac{3}{10}u^{10/3} + C.

Passo 7

Voltamos à variável original usando u=\sin t. Portanto a primitiva da integral dada é
\sin t - \frac{\sin^{3}t}{3} + \frac{3}{4}\sin^{4/3}t - \frac{3}{10}\sin^{10/3}t + C.

Resposta

\sin t - \frac{\sin^{3}t}{3} + \frac{3}{4}\sin^{4/3}t - \frac{3}{10}\sin^{10/3}t + C

Exercícios relacionados