Determine as integrais definidas seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- integrando:
.
- intervalo de integração: de
até
.
- objetivo: encontrar o valor exato da integral definida.
Passo 2
Uma ideia útil para potências ímpares de
é separar um fator
e usar a identidade
. Vou explicar por quê, passo a passo.
Primeiro escrevemos
Por que isso ajuda? Porque ao deixar um
isolado podemos usar a substituição
o que transforma a integral numa integral polinomial em
, que é muito mais fácil de calcular. Esta é uma técnica padrão: para potências ímpares de
, usar substituição com
; para potências ímpares de
, usar substituição com
.
Passo 3
Faço a substituição
. Primeiro troco o integrando e o diferencial:
Agora ajusto os limites: quando
temos
; quando
temos
. Assim a integral vira
Passo 4
Expando o polinômio para integrar termo a termo:
Então a integral é
Passo 5
Integro termo a termo usando a regra da potência:
para
. Assim um antiderivado é
Passo 6
Agora avalio o antiderivado entre
e
.
Valor em
:
Valor em
. Primeiro calculo as potências:
Substituindo:
Passo 7
Faço a simplificação do valor inferior fatorando
:
Calculo o parêntesis com denominador comum
:
Portanto o valor em
é
Passo 8
Subtraio valor inferior do superior:
Coloco em denominador comum
:
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Opcionalmente, em valor decimal aproximado: