Determine as integrais definidas seguintes:
\int_{0}^{\pi / 4} \sin ^{5} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/4} \sin^{5} x \, dx.
Informações dadas:
\; - integrando: \sin^{5} x.
\; - intervalo de integração: de x=0 até x=\pi/4.
\; - objetivo: encontrar o valor exato da integral definida.

Passo 2

Uma ideia útil para potências ímpares de \sin x é separar um fator \sin x e usar a identidade \sin^{2}x=1-\cos^{2}x. Vou explicar por quê, passo a passo.
Primeiro escrevemos
\sin^{5}x=\sin^{4}x\cdot\sin x=(\sin^{2}x)^{2}\sin x=(1-\cos^{2}x)^{2}\sin x.
Por que isso ajuda? Porque ao deixar um \sin x\,dx isolado podemos usar a substituição
u=\cos x,\qquad du=-\sin x\,dx,
o que transforma a integral numa integral polinomial em u, que é muito mais fácil de calcular. Esta é uma técnica padrão: para potências ímpares de \sin, usar substituição com \cos; para potências ímpares de \cos, usar substituição com \sin.

Passo 3

Faço a substituição u=\cos x. Primeiro troco o integrando e o diferencial:
\sin^{5}x\,dx=(1-\cos^{2}x)^{2}\sin x\,dx=(1-u^{2})^{2}(-du).
Agora ajusto os limites: quando x=0 temos u=\cos 0=1; quando x=\pi/4 temos u=\cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim a integral vira
\int_{0}^{\pi/4}\sin^{5}x\,dx=\int_{1}^{\sqrt{2}/2}-(1-u^{2})^{2}\,du=\int_{\sqrt{2}/2}^{1}(1-u^{2})^{2}\,du.

Passo 4

Expando o polinômio para integrar termo a termo:
(1-u^{2})^{2}=1-2u^{2}+u^{4}.
Então a integral é
\int_{\sqrt{2}/2}^{1}(1-2u^{2}+u^{4})\,du.

Passo 5

Integro termo a termo usando a regra da potência: \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Assim um antiderivado é
\int(1-2u^{2}+u^{4})\,du = u-\frac{2}{3}u^{3}+\frac{1}{5}u^{5}+C.

Passo 6

Agora avalio o antiderivado entre u=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e u=1.
Valor em u=1:
1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{8}{15}.
Valor em u=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Primeiro calculo as potências:
u=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad u^{3}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}=\frac{\sqrt{2}}{4},\qquad u^{5}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{5}=\frac{\sqrt{2}}{8}.
Substituindo:
u-\frac{2}{3}u^{3}+\frac{1}{5}u^{5} =\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{5}\cdot\frac{\sqrt{2}}{8}.

Passo 7

Faço a simplificação do valor inferior fatorando \sqrt{2}:
\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{5}\cdot\frac{\sqrt{2}}{8} =\sqrt{2}\!\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{12}+\frac{1}{40}\right) =\sqrt{2}\!\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{40}\right).
Calculo o parêntesis com denominador comum 120:
\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{40}=\frac{60-20+3}{120}=\frac{43}{120}.
Portanto o valor em u=\dfrac{\sqrt{2}}{2} é
\frac{43\sqrt{2}}{120}.

Passo 8

Subtraio valor inferior do superior:
\int_{0}^{\pi/4}\sin^{5}x\,dx =\frac{8}{15}-\frac{43\sqrt{2}}{120}.
Coloco em denominador comum 120:
\frac{8}{15}=\frac{64}{120},
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\frac{64}{120}-\frac{43\sqrt{2}}{120}=\frac{64-43\sqrt{2}}{120}.
Opcionalmente, em valor decimal aproximado:
\frac{64-43\sqrt{2}}{120}\approx 0,0265734.

Resposta

\displaystyle \frac{64-43\sqrt{2}}{120}

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