Determine as integrais definidas seguintes:
\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\theta \, d\theta.
Informações dadas: o integrando é \cos^{2}\theta e os limites de integração são \theta=0 e \theta=\pi/2. O objetivo é obter o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Vamos transformar \cos^{2}\theta numa forma mais fácil de integrar usando uma identidade trigonométrica conhecida. A identidade do ângulo duplo diz que
\cos(2\theta)=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta.
Como \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta, substituindo obtemos
\cos(2\theta)=\cos^{2}\theta-(1-\cos^{2}\theta)=2\cos^{2}\theta-1.
Desse modo podemos isolar \cos^{2}\theta:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Explicando devagar: essa fórmula reduz a potência (por isso é chamada de fórmula de redução de potência) e nos transforma um quadrado em soma de termos simples, um constante e um cosseno com ângulo duplo.

Passo 3

Substituímos essa identidade dentro da integral:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta=\int_{0}^{\pi/2}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta.
Podemos separar a integral em duas partes (linearidade da integral):
\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{2}\,d\theta+\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos(2\theta)}{2}\,d\theta.

Passo 4

Integramos termo a termo. Para a primeira parte, \int \frac{1}{2}\,d\theta=\frac{\theta}{2}. Para a segunda parte, usamos que, em geral,
\int \cos(k\theta)\,d\theta=\frac{1}{k}\sin(k\theta),
porque a derivada de \sin(k\theta) é k\cos(k\theta). Aplicando com k=2 e o fator 1/2 fora da integral, temos
\int \frac{\cos(2\theta)}{2}\,d\theta=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(2\theta)=\frac{1}{4}\sin(2\theta).
Portanto uma antiderivada comum para \cos^{2}\theta é
F(\theta)=\frac{\theta}{2}+\frac{1}{4}\sin(2\theta).

Passo 5

Avaliamo-la entre os limites 0 e \pi/2:
F\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=\frac{\pi/2}{2}+\frac{1}{4}\sin\big(2\cdot\frac{\pi}{2}\big)=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}\sin(\pi)=\frac{\pi}{4}+0=\frac{\pi}{4},
F(0)=\frac{0}{2}+\frac{1}{4}\sin(0)=0+0=0.
Subtraindo,
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta=F\Big(\frac{\pi}{2}\Big)-F(0)=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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