Determine as integrais definidas seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas: o integrando é
e os limites de integração são
e
. O objetivo é obter o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Vamos transformar
numa forma mais fácil de integrar usando uma identidade trigonométrica conhecida. A identidade do ângulo duplo diz que
Como
, substituindo obtemos
Desse modo podemos isolar
:
Explicando devagar: essa fórmula reduz a potência (por isso é chamada de fórmula de redução de potência) e nos transforma um quadrado em soma de termos simples, um constante e um cosseno com ângulo duplo.
Passo 3
Substituímos essa identidade dentro da integral:
Podemos separar a integral em duas partes (linearidade da integral):
Passo 4
Integramos termo a termo. Para a primeira parte,
. Para a segunda parte, usamos que, em geral,
porque a derivada de
é
. Aplicando com
e o fator
fora da integral, temos
Portanto uma antiderivada comum para
é
Passo 5
Avaliamo-la entre os limites
e
:
Subtraindo,