Calcular a integral indefinida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função acima, ou seja, uma expressão
tal que
, mais a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever tudo em termos de
e
para ver se aparece uma substituição óbvia. Usando
temos
Repare que
. Como
pode ser escrito em função de
pela identidade pitagórica, isso sugere uma substituição com
.
Passo 3
Explico a ideia da substituição passo a passo (muito usada em provas): se colocarmos
então
. Como o integrando tem um fator
escondido em
, a escolha
transforma o diferencial diretamente em
. Isso facilita porque as potências de
viram potências de
, e sobra apenas integrar uma função potência de
.
Passo 4
Substituímos
e organizamos para aplicar a substituição
:
Agora fazemos a mudança de variável
,
. Substituindo:
Passo 5
Simplificamos a expressão em
:
Agora usamos a regra de potências para integrar: para
,
Aplicando a regra termo a termo:
Ou seja,
Passo 6
Voltando à variável original
, escrevemos a primitiva em termos de
. Lembrando que
, obtemos
Passo 7
Verificação rápida (útil na hora da prova): derivando a resposta encontramos
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.