Calcular a integral indefinida:
\int \csc ^{5} \theta \cos ^{3} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \csc^{5}\theta \cos^{3}\theta \, d\theta.
Informações dadas:
\text{integrando} = \csc^{5}\theta \cos^{3}\theta = \frac{\cos^{3}\theta}{\sin^{5}\theta}.
Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função acima, ou seja, uma expressão F(\theta) tal que F'(\theta)=\csc^{5}\theta \cos^{3}\theta, mais a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever tudo em termos de \sin\theta e \cos\theta para ver se aparece uma substituição óbvia. Usando \csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta} temos
\csc^{5}\theta \cos^{3}\theta = \frac{\cos^{3}\theta}{\sin^{5}\theta}.
Repare que \cos^{3}\theta=\cos^{2}\theta\cdot\cos\theta. Como \cos^{2}\theta pode ser escrito em função de \sin\theta pela identidade pitagórica, isso sugere uma substituição com u=\sin\theta.

Passo 3

Explico a ideia da substituição passo a passo (muito usada em provas): se colocarmos u=\sin\theta então du=\cos\theta\,d\theta. Como o integrando tem um fator \cos\theta\,d\theta escondido em \cos^{3}\theta\,d\theta=\cos^{2}\theta\cdot\cos\theta\,d\theta, a escolha u=\sin\theta transforma o diferencial diretamente em du. Isso facilita porque as potências de \sin\theta viram potências de u, e sobra apenas integrar uma função potência de u.

Passo 4

Substituímos \cos^{2}\theta = 1-\sin^{2}\theta e organizamos para aplicar a substituição u=\sin\theta:
\frac{\cos^{3}\theta}{\sin^{5}\theta}\,d\theta = \frac{\cos^{2}\theta\cdot\cos\theta}{\sin^{5}\theta}\,d\theta = \frac{(1-\sin^{2}\theta)\cos\theta}{\sin^{5}\theta}\,d\theta.
Agora fazemos a mudança de variável u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta. Substituindo:
\int \frac{(1-\sin^{2}\theta)\cos\theta}{\sin^{5}\theta}\,d\theta = \int \frac{1-u^{2}}{u^{5}}\,du.

Passo 5

Simplificamos a expressão em u:
\frac{1-u^{2}}{u^{5}} = u^{-5} - u^{-3}.
Agora usamos a regra de potências para integrar: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando a regra termo a termo:
\int (u^{-5} - u^{-3})\,du = \int u^{-5}\,du - \int u^{-3}\,du = \frac{u^{-4}}{-4} - \frac{u^{-2}}{-2} + C.
Ou seja,
\int (u^{-5} - u^{-3})\,du = -\frac{1}{4}u^{-4} + \frac{1}{2}u^{-2} + C.

Passo 6

Voltando à variável original u=\sin\theta, escrevemos a primitiva em termos de \theta. Lembrando que u^{-k}=\sin^{-k}\theta=\csc^{k}\theta, obtemos
-\frac{1}{4}\sin^{-4}\theta + \frac{1}{2}\sin^{-2}\theta + C = -\tfrac{1}{4}\csc^{4}\theta + \tfrac{1}{2}\csc^{2}\theta + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na hora da prova): derivando a resposta encontramos
\frac{d}{d\theta}\!\left(-\tfrac{1}{4}\sin^{-4}\theta + \tfrac{1}{2}\sin^{-2}\theta\right) = \cos\theta\left(\sin^{-5}\theta - \sin^{-3}\theta\right) = \frac{\cos^{3}\theta}{\sin^{5}\theta},
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle -\tfrac{1}{4}\csc^{4}\theta + \tfrac{1}{2}\csc^{2}\theta + C

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