Calcular a integral indefinida:
\int \sin ^{2} x \sin 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin^{2} x \sin 2x \, dx.
Informações dadas: a função integranda é \sin^{2}x multiplicada por \sin 2x. O objetivo é encontrar uma primitiva (a família de funções cuja derivada é a integranda), ou seja, um resultado da forma \text{(algo)} + C, onde C é a constante de integração.

Passo 2

Vamos transformar a expressão \sin 2x usando uma identidade trigonométrica simples. A identidade é
\sin 2x = 2\sin x\cos x.
Explicando: essa identidade vem da fórmula para o seno da soma \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b; aplicando com a=b=x obtemos \sin 2x = \sin x\cos x + \cos x\sin x = 2\sin x\cos x.

Passo 3

Substituindo essa identidade na integranda, obtemos
\sin^{2}x\sin 2x = \sin^{2}x \cdot (2\sin x\cos x) = 2\sin^{3}x\cos x.
Portanto a integral original vira
\int \sin^{2}x \sin 2x \, dx = \int 2\sin^{3}x\cos x \, dx.

Passo 4

Agora escolhemos uma substituição adequada. Observa que temos um fator \cos x\,dx junto de uma função de \sin x ( \sin^{3}x). Isso sugere usar a substituição
u = \sin x.
Explicando a ideia: a técnica de substituição diz que se na integral aparece uma função f(g(x)) multiplicada pela derivada g'(x)\,dx, podemos trocar a variável por u=g(x) e simplificar. Aqui g(x)=\sin x e g'(x)=\cos x.

Passo 5

Calculamos o diferencial:
du = \cos x \, dx.
Logo \cos x\,dx = du. Substituindo em \int 2\sin^{3}x\cos x \, dx, como \sin x = u e \cos x\,dx = du, obtemos
\int 2\sin^{3}x\cos x \, dx = \int 2u^{3}\, du.

Passo 6

Agora é uma integral polinomial simples. Usamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando com n=3,
\int 2u^{3}\, du = 2\cdot \frac{u^{4}}{4} + C = \frac{u^{4}}{2} + C.

Passo 7

Voltamos à variável original (x) substituindo u=\sin x:
\frac{u^{4}}{2} + C = \frac{\sin^{4}x}{2} + C.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando \frac{\sin^{4}x}{2} usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\sin^{4}x}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot 4\sin^{3}x\cdot \cos x = 2\sin^{3}x\cos x,
que é exatamente a forma que obtivemos para a integranda após usar a identidade. Então está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin^{4}x}{2} + C

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