Calcular a integral indefinida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
multiplicada por
. O objetivo é encontrar uma primitiva (a família de funções cuja derivada é a integranda), ou seja, um resultado da forma
, onde
é a constante de integração.
Passo 2
Vamos transformar a expressão
usando uma identidade trigonométrica simples. A identidade é
Explicando: essa identidade vem da fórmula para o seno da soma
; aplicando com
obtemos
.
Passo 3
Substituindo essa identidade na integranda, obtemos
Portanto a integral original vira
Passo 4
Agora escolhemos uma substituição adequada. Observa que temos um fator
junto de uma função de
(
). Isso sugere usar a substituição
Explicando a ideia: a técnica de substituição diz que se na integral aparece uma função
multiplicada pela derivada
, podemos trocar a variável por
e simplificar. Aqui
e
.
Passo 5
Calculamos o diferencial:
Logo
. Substituindo em
, como
e
, obtemos
Passo 6
Agora é uma integral polinomial simples. Usamos a regra da potência para integrais: para
,
Aplicando com
,
Passo 7
Voltamos à variável original
substituindo
:
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando
usando a regra da cadeia,
que é exatamente a forma que obtivemos para a integranda após usar a identidade. Então está correto.