Calcular a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo (variável de integração:
):
Informações relevantes fornecidas:
- A integranda é o produto de
por . - Trata-se de uma integral indefinida; o resultado deve conter a constante de integração.
Passo 2
Observação útil (padrão que vamos usar): quando dentro da integranda aparece uma composição
multiplicada por
, ou seja um termo do tipo
, é muito eficiente fazer a substituição
. A ideia por trás disso é a regra da cadeia (chain rule) da derivação, que diz que
Invertendo essa ideia para integrar, se tivermos
então a primitiva é
. Em palavras: se a parte externa da composição tem derivada simples e aparece multiplicando a derivada da parte interna, basta trocar variáveis.
Passo 3
No nosso integrando
note que
é exatamente a derivada de
, pois
Isso encaixa no padrão do passo anterior com
e
. Então fazemos a substituição
Calculamos o diferencial:
Passo 4
Substituindo na integral original, como
e
, obtemos uma integral em
muito simples:
Passo 5
Agora integramos em
. A primitiva de
em relação a
é
, porque
. Logo
Passo 6
Voltando à variável original
(substituindo
), a primitiva encontrada é
. Para conferir rapidamente, pode-se derivar:
que é exatamente a integranda original. Boa checagem!
Passo 7
Dica prática para a prova: ao ver uma função composta
multiplicada por algo que lembra
, experimente imediatamente
. Isso costuma reduzir a integral para uma forma direta. Exemplos rápidos:
-
. -
.