Calcular a integral indefinida.
\int \cos x \cdot \cos (\operatorname{sen} x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo (variável de integração: x):
\int \cos x \cdot \cos(\operatorname{sen} x)\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A integranda é o produto de \cos x por \cos(\operatorname{sen} x).
  • Trata-se de uma integral indefinida; o resultado deve conter a constante de integração.

Passo 2

Observação útil (padrão que vamos usar): quando dentro da integranda aparece uma composição f(g(x)) multiplicada por g'(x), ou seja um termo do tipo f(g(x))\cdot g'(x), é muito eficiente fazer a substituição u=g(x). A ideia por trás disso é a regra da cadeia (chain rule) da derivação, que diz que
\frac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))\cdot g'(x).
Invertendo essa ideia para integrar, se tivermos \int F'(g(x))\,g'(x)\,dx então a primitiva é F(g(x)). Em palavras: se a parte externa da composição tem derivada simples e aparece multiplicando a derivada da parte interna, basta trocar variáveis.

Passo 3

No nosso integrando \cos x\cdot\cos(\operatorname{sen} x) note que \cos x é exatamente a derivada de \operatorname{sen} x, pois
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen} x\big)=\cos x.
Isso encaixa no padrão do passo anterior com g(x)=\operatorname{sen} x e f(u)=\cos u. Então fazemos a substituição
u=\operatorname{sen} x.
Calculamos o diferencial:
du=\cos x\,dx.

Passo 4

Substituindo na integral original, como du=\cos x\,dx e \cos(\operatorname{sen} x)=\cos(u), obtemos uma integral em u muito simples:
\int \cos x\cdot\cos(\operatorname{sen} x)\,dx = \int \cos(u)\,du.

Passo 5

Agora integramos em u. A primitiva de \cos(u) em relação a u é \operatorname{sen} u, porque \dfrac{d}{du}\big(\operatorname{sen} u\big)=\cos u. Logo
\int \cos(u)\,du=\operatorname{sen} u + C.

Passo 6

Voltando à variável original x (substituindo u=\operatorname{sen} x), a primitiva encontrada é \operatorname{sen}(\operatorname{sen} x)+C. Para conferir rapidamente, pode-se derivar:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x)\big)=\cos(\operatorname{sen} x)\cdot\cos x,
que é exatamente a integranda original. Boa checagem!

Passo 7

Dica prática para a prova: ao ver uma função composta \varphi(\psi(x)) multiplicada por algo que lembra \psi'(x), experimente imediatamente u=\psi(x). Isso costuma reduzir a integral para uma forma direta. Exemplos rápidos:
  • \displaystyle \int e^{\operatorname{sen} x}\cos x\,dx = e^{\operatorname{sen} x}+C.
  • \displaystyle \int \cos(\,x^2)\cdot 2x\,dx = \sin(x^2)+C.

Resposta

\operatorname{sen}(\operatorname{sen} x)+C

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