Ao calcular a integral indefinida
integral sen(3 x)-32+2 x^2 d x
obtemos ( c é uma constante arbitraria):
a. -cos (3 x)3-32 arctan x+c
b. -cos (3 x)-32 arctan x+c
c. -cos (3 x)-3 arctan x+c
d. -cos (3 x)3-arctan x+c
e. -cos (3 x)-32 ln (1+x^2)+c

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você está querendo resolver a integral indefinida:
integral sen(3x) - 32 + 2x^2 , dx
Esse exercício está trabalhando com integração, que é uma parte da cálculo que estuda como encontrar funções a partir de suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas técnicas básicas de integração, como a integração de funções trigonométricas e frações racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral sen(3x) , dx - integral 32 + 2x^2 , dx
Isso é possível porque a integral da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração) das integrais dessas funções.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral:
integral sen(3x) , dx
Para integrar essa função, usamos a regra de substituição. Sabemos que:
integral sen(ax) , dx = -cos(ax)a + C
Onde a é uma constante. No nosso caso, a = 3. Então:
integral sen(3x) , dx = -cos(3x)3 + C

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral 32 + 2x^2 , dx
Primeiro, vamos simplificar o denominador:
2 + 2x^2 = 2(1 + x^2)
Então, a integral fica:
integral 32(1 + x^2) , dx = 32 integral 11 + x^2 , dx
Sabemos que:
integral 11 + x^2 , dx = arctan(x) + C
Então:
32 integral 11 + x^2 , dx = 32 arctan(x) + C

Passo 5

Agora, juntando as duas integrais que resolvemos:
integral sen(3x) - 32 + 2x^2 , dx = -cos(3x)3 - 32 arctan(x) + C

Resposta

A resposta correta é a alternativa a:
-cos (3 x)3-32 arctan x + c

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