Ao calcular a integral \int \frac{1}{x} d x, Joãozinho procedeu da seguinte maneira.
Fazendo u=\frac{1}{x}, e d v=d x, podemos tomar v=x, e teremos d u=-\frac{1}{x^{2}} d x.
\begin{aligned} \int \frac{1}{x} d x & =\int u d v=u v-\int v d u \\\ & =\frac{1}{x} \cdot x-\int x\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) d x=1+\int \frac{1}{x} d x \end{aligned}
Sendo J=\int \frac{1}{x} d x, temos então J=1+J, logo 0=1.
Onde está o erro no argumento de Joãozinho?

Passo 1

O enunciado pede para identificar o erro na “prova” de que
J=\int \frac{1}{x}\,dx
levou à contradição 0=1. O conteúdo aqui é a fórmula de integração por partes para integrais indefinidas e a necessidade de incluir a constante de integração.

Passo 2

Joãozinho aplicou a integração por partes escolhendo
u = \frac{1}{x},\quad dv = dx,
logo
du = -\frac{1}{x^2}\,dx,\quad v = x.
Pela fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
ele obteve
\int \frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{x}\,x \;-\;\int x\Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr)\,dx = 1 + \int \frac{1}{x}\,dx,
isto é,
J = 1 + J,
e daí 0=1.

Passo 3

O erro está em não incluir a constante de integração. A fórmula correta para integrais indefinidas é
\int u\,dv = uv - \int v\,du + C.
Aplicando isso temos
J = \int \frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{x}\,x - \int x\Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr)\,dx + C = 1 + J + C.
Subtraindo J de ambos os lados dá
0 = 1 + C,
ou seja C = -1, não há contradição.

Resposta

O erro de Joãozinho foi ignorar a constante de integração ao aplicar a fórmula de integração por partes em uma integral indefinida.

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